※ 引述《steve1012 (steve)》之铭言： ※ 引述《ss355227 (前佑)》之铭言： : ※ 引述《stan999950 (鹏鹏鹏鹏鹏鹏鹏鹏鹏鹏鹏)》之铭言： : : 作者: sr333444 (欸啥) 看板: NTU-Exam : : 标题: [试题] 98暑修 周青松 微积分甲下 期末考 : : 时间: Wed Sep 8 10:16:34 2010 : : 课程名称︰微积分甲下 : : 课程性质︰暑修 : : 课程教师︰周清松 : : 开课学院：理学院 : : 开课系所︰数学系 : : 考试日期（年月日）︰2010/9/9 : : 考试时限（分钟）：120分钟 : : 是否需发放奖励金：是 : : （如未明确表示，则不予发放） : : 试题 : : : It's necessary to explain all the reasons in detail and show all of your : : work on the answer sheet; Or you will NOT get any credits. If you used any : : theorems in textbook or proved in class, state it carefully and explicitly. : : 1.(a)For each integer n and r≠0, we have ▽r^n = nr^(n-2)r. Here : : r=∥r∥ and r = xi+yj+zk. Note that if n is positive and even, : : the result holds at r=0. : 这题...直接微应该就可以得到 : 至於 hold at r=0 因为r没有在分母了阿(n>=2) 当然可以等於0 : ~~~详细的我不知道怎麽写~~~ : ~~~李维峻help~~~~me n set r = (x^2 + y^2 + z^2)^n/2 n n 2 2 2 ( n-2)/2 ▽r = ----(x + y + z ) (x,y,z) 1 n-2 -> = n r r : : (b)Assume that ▽f(x) exists. Prove that, for each integer n, we have : : n n-1 : : ▽f (x)=nf (x)▽f(x). : 也是直接微搂0.0 : ----------------------------不过不考证明这不会出吧XDDD------------ : : 2.(a)Find the directional derivative of f(x,y)=ln(x^2+y^2) at P(0,1) : : in the direction of 8i+j. : ▽f(x,y)= (2x / x^2+y^2)i + (2y / x^2+y^2)j : ▽f(0,1)= 0 i + 2j ▽f(0,1)‧(8,1)/根号65 = 2/根号65 ▽f(0,1)‧(8,1)/(65)^1/2 : : (b)Find the directional derivative of f(x,y)= xe^(y^2-z^2) at (1,2,-2) : : in the direction of increasing t along the path : : r(t)= ti+2cos(t-1)j-2e^(t-1)k : ▽f(x,y,z)= ( e^(y^2-z^2) )i + ( 2yxe^(y^2-z^2) )j + ( -2zxe^(y^2-z^2) )k : ▽f(1,2,-2)= (1,4,4) : t=1 r(t)=(1,2,-2) : v(t)= i + ( -2sin(t-1) )j + ( -2e^(t-1) )k : u = v(1) / |v(1)| =(1,0,-2)/ 5^0.5 ▽f(1,2,-2)‧u = -7 / 5^0.5 : 3.(a)Use the chain rule to find the rate of change of f(x,y,z)=x^2y+zcosx : with respect to t along the twisted cubic r(t)=ti+t^2j+t^3k 意思就x=t y=t^2 z=t^3 反正df(x,y,z)/dt = partial f/partial x * dx/dt + y.... + z.... 没有向量搂 我之前写错了QQ 答案.... df(x,y,z)/dt = (2xy-zsinx)*1 + x^2 * 2t + cosx * 3t^2 = 乾是这样吗 我都囧了 df 全微分 -- = partial....... dt 之类的览的血 : : (b)Find the rate of change of f(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2) with respect to : : t along the twisted cubic r(t)=sinti+costj+e^(2t)k : 好烦=.= : : 4.(a)Calculate by double integration the area of the bounded region determined : : by the curves x^2=4y, 2y-x-4=0. 重点就是要找出范围 然後对dxdy积分就好 可以解出交点 x= 4 or -2 大概知道图後 -2 <= x <= 4 x^2 /4 <= y <= 2 + x/2 一组实数，一组就有未知数这样 积分吧 范围就照那样写 先积y 有未知数 = 积分-2~4 (2 + x/2 - x^2/4) dx = 2x + x^2 / 4 - x^3 / 12 |-2~4 = 9 对了拉 感谢各位大大指教!! : : (b)Calculate the volume within the cylinder x^2+y^2=b^2 between the planes : : y+z=a and z=0 given that a>=b>0. Z的范围 是 0~ (a-y) ps.y必定<a 所以是积分 (a-y) dx dy 这题要用极座标最好 2pi b 积分 (a-rsinu)rdrdu 0 0 2 =pi a b ---------------------------------------------- 当然也是可以不用极座标拉 就慢慢积搂 z从0到(a-y) y从 - 根号(b^2-x^2) 到 + 根号(b^2-x^2) x从 -b 到 +b 依序dzdydx搂 中间要用个三角代换 最後再来个半角公式 答案一样喔!! : : 5.(a)Us e triple integration to find the volume of the tetrahedron T bounded : : by x+y+z=1 in the first octant. : : (Hint: 0≦z≦1-x-y, 0≦y≦1-x, 0≦x≦1) : : (b)Calculate the mass of the solid 0≦x≦a, 0≦y≦b, 0≦z≦c, with the : : density funtion ρ(x,y,z)=xyz. a) Hint 都写光要干嘛了我只提供答案 1/6 2 b) 这题也太简单了= = 用看的就知道答案是 ( abc ) /8 XD KO一份

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