※ [本文转录自 Math 看板] 作者: Babbage (骄傲体现於健忘) 看板: Math 标题: Re: [微积] 何谓方向导数 时间: Wed Jun 10 10:44:31 2009 ※ 引述《john11894324 (维尼)》之铭言： : 我想问的是何谓方向导数 : 我知道方向导数跟梯度间有一点关系 : 但都不了解它的"几何意义" : 有人可以稍做解释吗? : 已经搜寻过之前的文章但仍不了解 : 何为它的几何意义 : 如梯度向量指向哪?大小为何 : 方向导数与梯度有何关系 1. 方向导数=梯度向量与方向向量的内积 D_u f=▽f‧u 课本上都规定这个公式必须在方向向量u是单位向量时才会对， 　　但事实上这个公式对於长度不是1的向量也成立。 2. 当u=座标方向的单位向量时，方向导数=偏微分 例如三维时，D_(0,1,0) f = partial f/ partial y 如果不是单位向量就不成立，例如 　　D_(0,2,0) f≠partial f/ partial 2y 3. 梯度向量=f(x,y,z)的等高面或f(x,y)的等高线上的法向量 例如z=f(x,y)=x^2+y^2的梯度向量是(2x,2y)，并不是该曲 　　面上的法向量，而是它在xy平面上的等高线的法向量。 　　曲面上的法向量是(2x,2y,-1)。 4. 梯度向量指向函数增长最快的方向。 　　例如刚刚的例子中，如果在xy平面上考虑(3,5)这个点，往 (6,10)这个方向走，然後抬头看上方的曲面，会愈来愈高。 -- --

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