※ [本文转录自 NTUHorti96 看板] 作者: pcboy0831 (在海滩上种花) 看板: NTUHorti96 标题: Re: [转录][试题] 95上 农学院 微积分乙统一教学 될… 时间: Mon Nov 5 06:38:37 2007 答案自己写的 参考就好 ※ 引述《insane8778 (庞)》之铭言： : ※ [本文转录自 NTU-Exam 看板] : 作者: littlebowbow (小包) 看板: NTU-Exam : 标题: [试题] 95上 农学院 微积分乙统一教学 期中考 : 时间: Sun Dec 3 21:22:54 2006 : 课程名称︰微积分乙 : 课程性质︰大一共同必修 : 课程教师︰统一教学 : 开课学院：农学院 : 开课系所：园艺、农艺、森林、农经、昆虫、生技、心理等系 : 考试时间︰95/11/09 15:30-17:20 : 是否需发放奖励金：是 : （如未明确表示，则不予发放） : 试题 : : (15%)(1)求下列各极限 : (a) √(4+X)-√(4-x) : lim ──────── : x→0 √(1+X)-√(1-x) √(4+X)-√(4-x) √(4+X)+√(4-x) √(1+X)+√(1-x) ──────── * ──────── * ──────── √(1+X)-√(1-x) √(1+X)+√(1-x) √(4+X)+√(4-x) 4+x-4+x √(1+X)+√(1-x) 2 = ──── * ──────── = 1 * ── = 1/2 1+x-1+x √(4+X)+√(4-x) 4 : (b) 1 : lim (x sin─ ) : x→0 x 1 sin(1/x) sin(u) x sin─ = ──── ; 令 u = 1/x , 可写为 lim ─── x (1/x) u→∞ u 因为 0 < sin(u) < 1 , 所以 sin(u) 1 1 0 < ─── < ── 成立 , 又因为 lim ─ = 0 u u u→∞ u 根据sandwitch theorem, 极限为 0 : (c) : e^2x - 1 : lim ───── : x→0 x by Taylor Expansion , e^u = 1 + u + (u^2)/2! + (u^3)/3! + ... e^2x - 1 2x + (4x^2)/2! + ... ───── = ────────── = 2 + (4x)/2! + ... x x 後面都是0 , 所以极限是 2 或用L'Hospital's Rule也可以, 不定型分子分母同微分 e^2x - 1 2(e^2x) lim ───── = lim ──── = 2 x→0 x x→0 1 : (15%)(2)求f'(x)=? : (a) √(x-1) : f(x)= ──── : √(x+1) 直接代公式慢慢做或者是 先取自然对数 log ln(f(x)) = (1/2)ln(x-1) - (1/2)ln(x+1) 微分, f'(x)/f(x) = (1/2){1/(x-1) - 1/(x+1)} f'(x) = (f(x)/2)*{1/(x-1) - 1/(x+1)} √(x-1) 1 1 = ──── * (── - ──) 2√(x+1) x-1 x+1 : (b) f(x)= sin(cosx) f'(x) = cos(cosx)(-sinx) : (c) f(x)= x^x , x>0 ln(f(x)) = xln(x) d{ln(f(x))}/dx = f'(x)/f(x) = ln(x) + 1 f'(x) = f(x) * (ln(x) + 1) = (x^x)*(ln(x) + 1) : (20%)(3)设f(x)=(x^2 -1)^2,请说明f(x)递增、递减之区间,凹凸之区间,极大值 : 极小值之位置,及反曲点之位置。 f' = 2(x^2 -1)*2x = 4x(x-1)(x+1) f" = 4*(3x^2 - 1) critical points : x = 0 , 1 , -1 可能的反曲点 : x = 1/√3 , -1/√3 开口向上 开口向上 开口向下 开口向下 开口向上 开口向上 ↘ ↗ ↗ ↘ ↘ ↗ ──┼───┼────┼────┼───┼───→x -1 -1/√3 0 1/√3 1 y = 0 y = 1 y = 0 递增区间 : -1 < x < 0 和 x > 1 递减区间 : x < -1 和 0 < x < 1 反曲点 : x = 1/√3 , -1/√3 开口向下 : -1/√3 < x < 1/√3 开口向上 : x < -1/√3 和 1/√3 < x 极大值为 1 在 x = 0 , 极小值为 0 在 x = 1 , -1 : (15%)(4) 3 ＿ : (a)求函数 y= √ x 在x=64之切线 (10%) y' = (1/3){x^(-2/3)} , x = 4^3 = 1/48 y = 4 L : (1/48)(x-64) = y-4 : 3 ＿ : (b)利用线性逼近求 √63 之近似值 (5%) f(x+△x) = f(x) + f'(x)△x f(63) = f(64-1) = f(64) + f'(64)*-1 = 4 - 1/48 = 191/48 要讨论误差的话 利用 Taylor Expansion f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + {f"(a)(x-a)^2}/2! + .... 根据Taylor Theorem, Linear Approximation 误差会小於 {f"(a)(x-a)^2}/2! 项 , 也就是 {f"(x)(△x)^2}/2 f" = (-2/9){x^(-5/3)} , f"(4^3) = -1/4608 因此误差小於 {f"(x)(△x)^2}/2 = -1/9216 约 1.08 * 10^-4 : 2 : (15%)(5) dy d y π : 设2xy+πsiny=2π 求 ─ , ── 在 x=1,y= ─ 之值 : dx 2 2 : dx 2xy+πsiny=2π 左右对x微分 2y + 2xy' + y'πcosy = 0 代入 x = 1 , y = π/2 π + 2y' = 0 , dy/dx = y' = -π/2 再微一次 2y' + 2y' + 2xy" + y"πcosy - y'y'πsiny = 0 代入 x = 1 , y = π/2 , y' = -π/2 -2π + 2y" - (π^3)/4 = 0 d^2y/dx^2 = y" = (π^3)/8 + π : (20%)(6)欲造一体积固定为V,无盖有底之圆桶,设底的造价为侧边之三倍 : 若造价最小,则高与底半径之比为何? 假设半径r,高为h V = πh(r^2) 表面积的总成本是 C = 3π(r^2) + 2πrh 把h换掉 C(r) = 3π(r^2) + 2V/r dC/dr = 6πr - 2V/(r^2) , 假设在 r = R 时 C'(R) = 0 V = 3πR^3 , R^3 = V/(3π) , 3π = V/(R^3) V = πh(r^2) , h/r = V/(πr^3) 故 高与底半径之比 = V/(πR^3) = 3 而此时 C"(R) = 6π + 4V/(R^3) = 18π > 0 开口向上 所以是极小值 -- 仅供参考 -- --

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