※ 引述《potatato (patatato)》之铭言： : 请问板上的先进三个问题： : 1.Eisberg的近物P311提到，电子的总波函数可以拆成space与spin两个部分的乘积 : (total eigenfunction)=(space eigenfunction)*(spin eigenfunction) : n、l、ml、ms n、l、ml ms : 为什麽我们一定可以这样拆呢？ Schroedinger equation 只能求出 space 项没办法多出 spin 项 加入 spin 项可以说明能阶的分裂及其他实验结果 从非相对论框架上出来的 Schroedinger equation 的解只能硬加入 spin 项 後来 Dirac 很天才的把 相对论 跟 量子力学 结合在一起 从相对论能量出发 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E = P c + (m0 c ) => (E/c) = P + m0 c ( 令 P4 = E/c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 => P4 - P - m0 c = 0 => P4 - [ (P1 + P2 + P3 ) + (m0 c) ] = 0 将此 四动量 用一般代数展开的方式，可化简为 ( P4 - α1．P1 - α2．P2 - α3．P3 - α4．m0 c ) ( P4 + α1．P1 + α2．P2 + α3．P3 + α4．m0 c ) = 0 此时 α1、α2、α3、α4 为 4*4 矩阵 0 σx 0 σy 0 σz 可在化简为 α1 = ( )、α2 = ( )、α3 = ( ) σx 0 σy 0 σz 0 I 0 α4 = ( ) = β 0 -I 其中 0 为 2*2 之 0 矩阵，σx、σy、σz 为 庖利矩阵，I 为 2*2 之 单位矩阵 - ( - P4 ± α1．P1 ± α2．P2 ± α3．P3 ± α4．m0 c )Ψ = 0 ( - P4 ± α1．P1 ± α2．P2 ± α3．P3 ± α4．m0 c )Ψ = 0 ( ± α1．P1 ± α2．P2 ± α3．P3 ± α4．m0 c )Ψ = P4Ψ ± ( α1．P1 + α2．P2 + α3．P3 + α4．m0 c )Ψ = P4Ψ ± [ c ( α1．P1 + α2．P2 + α3．P3 ) + α4．m0 c^2 ] Ψ = P4 c Ψ = E Ψ (以下之 d 为偏微分) ^ E → H = i hbar d/d t ^ P4 = E/c → P4 = i hbar/c d/d t ± [ c ( α．P ) + α4．m0 c^2 ] Ψ = i hbar dΨ/dt ( 取 + 或 - 仅 Ψ 的 时间部分为 e^-(± E/hbar t)如此的差异，α4 = β ) 故取 + ，另外我们再加上 位能 则上式成为下式，即为着名的 Dirac equation： [ c ( α．P ) + β m0 c^2 + V ]Ψ = i hbar dΨ/dt spin 项 自然而然就跑出来了 另外 Dirac equation 可经过一些近似 得到 Schroedinger equation 及其他微扰项 推导请查阅 林清凉 启发性物理学 近代物理Ⅰ参考文献和注 9) P400~406 ^ 2 ^ 4 2 P P hbar d V(r) p E'ψ2 = { [ ── + V(r) ] - ───── - ───── ─── ─ (p 为偏微分) 2 m0 8 m0^3 c^2 4 m0^2 c^2 d r pr 1 1 d V(r) ^ ^ + ───── - ─── ( S．L ) } ψ2 2 m0^2 c^2 r d r ^ 第一项：Schroedinger equation 的 H (可以从古典得到) 第二项：相对论质量修正 (也可以从古典得到) 第三项：相对论位能修正项 (似乎可以用古典的电子非点电荷的修正得出？) 第四项：自旋轨道相互作用 (也可以从古典得到) 虽然 Schroedinger equation 是猜出来的 不知道这些推导是否可作为 Schroedinger equation 的推导过程 只要说明後面三项可用特徵值的理论把极小项忽略， 还有在一开始时就把 m0 用缩减质量 m 代替， (因为可以用相对论下的二体运动化为相对论下的 2 个一体运动) 即得到 Schroedinger equation 的推导！ : 2.课本上用(+1/2, +1/2) : (-1/2, -1/2) : [1/(2)^1/2]*[(+1/2, -1/2)-(-1/2, +1/2)] : [1/(2)^1/2]*[(+1/2, -1/2)+(-1/2, +1/2)] : 这四种方式来描述两个电子spin eigenfunction : 也就是很含糊用(1/2)就代表了某个电子的spin eigenfunction : 难道我们就写不出来电子spin eigenfunction真正形式吗？ : 是不是解Schroefinger equation只有解出space eigenfunction的部分？ : spin eigenfunction不包括在Schroefinger equation里头？ 我用是 SphericalHarmonicY [L,M,Θ,Φ] 的展开公式然後将 L = 1/2，M = ±1/2得出 1/2 ______ (+1/2) = Y (Θ,Φ) = i/π e^( iΦ/2) √sin Θ 1/2 -1/2 ______ (-1/2) = Y (Θ,Φ) = 1/π e^(-iΦ/2) √sin Θ 1/2 (1/2)*(1/2)、(-1/2)*(-1/2)均正交归一化 代入以下运算子验证均符合 (以下之 d 为偏微分) ^ 2 1 d d 1 d^2 S = - hbar^2 [ ─── ── ( sin Θ ── ) + ──── ─── ] sin Θ d Θ d Θ sin^2 Θ d^2 Φ ^ ^ ^ iΦ d d S+ = Sx + i Sy = hbar e ( ── + i cot Θ ── ) d Θ d Φ ^ ^ ^ -iΦ d d S- = Sx - i Sy = hbar e ( - ── + i cot Θ ── ) d Θ d Φ 也符合 Gaunt Integral ( http://tinyurl.com/23lmvf2 ) 里的 Clebsch-Gordan 系数 但Θ、Φ是什麽？是磁偶极矩所旋转的方向吗？ 另外画出来的图 (1/2)*(1/2) = (-1/2)*(-1/2) = sin Θ/π^2 是上下漏斗形的图，这是机率密度的分布吗？难以解释XD : 3.请问state和orbital要怎麽分呢？ : 假如一个电子n=1,l=0,ml=0,ms=+1/2，那这组quantum number(n=1,l=0,ml=0,ms=+1/2) : 代表的是一个state还是一个orbital呢？ : 抑或如果是space quantum number(n=1,l=0,ml=0)代表的是一个orbital呢？ 这点我认为在物理上是用 state，化学上用 orbital 称呼之 : 不好意思基础不太好 : 很多物里的东西我没上过课只靠自己看书 : 看不懂的地方请版友们能指点迷津，谢谢 ^^ 量子力学这东西范围太广了XD 大家互相指点迷津是好事 也能知道自己思考盲点在哪^^ -- 电子Dirac 方程式：[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar dΨ/dt --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 118.160.209.207