※ 引述《realtemper (精彩不亮丽)》之铭言： : ※ 引述《ed78617 (鸡爪)》之铭言： : : [领域] 力学 (题目相关领域) : : [来源] 文华高中100年教甄试题 (课本习题、考古题、参考书...) : : [题目] : : 这题没头绪... : : http://i212.photobucket.com/albums/cc4/ed78617/27.jpg : 文长请耐心阅读～ : 这题只要抓住「真正重要的座标只有θ一个」就不难算 : ▕\ : 据此，第一种做法如下： ▕ \ 质心座标(x,y) : ▕θ\↙ : 假设θ为杆子与墙壁的夹角，θ ＝α＝30度 ▕ \ : 0 ▕ \ : 首先注意到能量守恒： ▕ \ : ￣￣￣￣￣￣ : 亦即重力位能释放之後，变成移动动能+转动动能 : 1 2 1 2 1 2 1 2 .2 : mg(y －y) = ─ mv + ─ Iω = ─ mv + ─ mR θ ..................(1) : 0 2 2 2 6 : 2 .2 .2 L : 其中 v = x + y , R≡─, y ≡Rcosθ : 2 0 0 : 利用几何位置的 constraint : . . : ╭ x＝Rsinθ ╭ x＝Rθcosθ . : ┤ .....(2) → ┤ . . ....(2) : ╰ y＝Rcosθ ╰ y＝-Rθsinθ : 代入能量守恒，得到 : 2 .2 : g(cosθ－cosθ) = － Rθ .............(3)（脱离点及脱离前皆适用） : 0 3 : : : 注意题目只问"恰脱离墙壁"的状况--也就是 x = 0 : 所以我们先把这个条件以 θ 座标描述： : . : 把 x 再微分一次，得到 : : .2 : θcosθ＝θ sinθ ............(4)（适用於脱离点） : : . : 利用(3)式与(4)式，逐次消去θ与θ就可以了。方法如下： : . 4 . : . : 将 (3) 式微分一次 → gθsinθ = ─ Rθθ ......(3) : 3 : : 4 .2 : 与(4)式消去θ → gcosθ = ─ Rθ ........(5) : 3 : .2 : 再将(5)式代入(3)式消去θ : 2R 3g : → g(cosθ－cosθ) = ─ ─ cosθ : 0 3 4R : 2 1 : → cosθ = － cosθ = ── : 3 0 √3 # : 要算出答案是没什麽，但这题的物理诠释其实令人费解： : 2 2 2 : 直观来看，因为棒子的质心被限制在 x + y = R 的球面上（尚未脱离时） : 所以这题跟「一质点从光滑球面上滑下」的状况其实很类似 : 只是多了一项转动动能 : 2 : 但是 cosθ = － cosθ 这个结果，竟然跟质点的case完全一样 : 3 0 : 乍看之下其实让我有点吃惊 : 因为从能量观点来看，转动动能会「吃掉」部份的质心速度 : 使得物体移动较慢，从而较不容易脱离球面才对，是故脱离角怎麽可能会一样呢？ : 但我後来想到一个能量上的解释： : 2 : 1 mR 2 1 2 2 : 注意转动动能 T ：移动动能 T 恒为 1:3 (─ ─ ω : ─ mR ω ) : rot tr 2 3 2 : 也就是说，脱离前的任何一刻，移动自由度恒分得 3/4 的能量 : 3 : 因此质心的运动方式，似乎正等价於它面对了形式为 ─ mgy 的重力位能 : 4 : 2 2 2 : 以及 x + y = R 的 constraint 一样。 : 所以事後想到的第二种作法，便是将原问题的移动部份分离出来， : 看成一个从光滑球面上自由滑下的质点，且重力场强为 3g/4 : 3 : ▕ ↓g ▕ ↓─ g : ▕ '':. ○ ▕ '':. ○ 4 : ▕ ': ▕ ': : ▕ '. → ▕ '. : ▕ : ▕ : : ▕ . ▕ . : ￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣ : T = T + T T = T only : cm tr rot cm tr : 2 : 然後一样算出 cosθ = － cosθ : 3 0 : （注意此结果与g值无关） : 若要验证 "3g/4" 解读的合理性，我想到两个层面 : : : .2 : : 1.注意到 y＝-R(θsinθ+θ cosθ).......(2-y) : 在脱离点的时候，以上面 (3)-(5) 式的结果代进去 : : 3 : 的确可以得到 y = - ─ g : 4 : 注意此刻地板之正向力为 mg/4，它与重力 -mg 直接对抗 : 造成了质心移动动能的损失 : 换言之，在脱离之前的 constraint force 当中 : 此对抗力的系数 1/4，即为重力位能分配给转动动能之比例。 : 当棒子从静止慢慢落下、地板正向力也会慢慢减少， : 等正向力掉到 mg/4 以下之时，便无法继续维持 1:3 的能量分配 : 因此棒子的转动动能将会「跟不上」移动动能 : 从而脱离 x^2 + y^2 = R^2 的表面。 : 此似可做为「脱离条件」的另一解读。 : 2 : 2.把棒子换成任意的质量分配 (I = βmR ) 整个重算一遍 : 2 : 亦能得到 cosθ = ─ cosθ : 3 0 : : g : 以及 y = - ─── (符合 T : T = 1 : β) : (1+β) tr rot : 目前能想到的大致这样了 欢迎补充＆谢谢收看 : : 此题我知道可以用lagrangian来算，但是用牛顿力学的话，不知道怎麽做... : : http://i212.photobucket.com/albums/cc4/ed78617/2-1.jpg : : [瓶颈] (写写自己的想法，方便大家为你解答) : 想像一下： : 若在瞬间用你的神之左右手把悬垂绳子的质量全部集中於绳子与滑轮的交界处， : 应该不会影响问题的答案吧！ : 这样的话就很容易看清 I 本质上是什麽东西 : 绳 : τ = I α = (I + I ) α : tot 轮 绳 : 2 : → (3/4 - 1/4) mgR = (I+mR ) α : 秒杀 关於第一题~小弟有一问题请教 滑动的过程中，墙与壁均有对棒子有正向力 同时棒的质心也在移动 如此棒子应是有受到正向力~及正向力作用下产生的功 因此照理说力学能应不会守衡 但此题利用力学能守恒，却可以得到答案 因此推论水平正向力与地面正向力 所作的功恰可抵消 但并没有足够的证据可以证明此结论 若从ｒ大的角分析，看来可想作圆球上的运动 好像就可以解释～但如何从一开始得到力学能守恒的条件？？ 此处是小弟想不透的地方 麻烦板上高手指导 感谢 --

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