作者s1290961 (煦)
看板Physics
标题Re: [问题] length contraction的问题
时间Wed Jul 11 18:16:57 2012
昨天重新看过原po所提的问题，仔细想过一遍，发现我搞错意思了。
造成困扰实在很抱歉。这篇里我重新回覆一遍你提的问题。
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我先整理并重新叙述一次问题（示意图如原文连结）：
有两个座标系 S 与 S' ，以及一固有长 L_0 之物体，
S 相对物体有一速度 v 沿物体长的方向， S' 则相对该物静止。
两座标系中物体头、尾与 P 线相交此两事件的时间差分别为 Δt 与 Δt' ，
并期待它们会满足
L L_0/γ L_0
v = —— = ——— = ——
Δt Δt Δt'
即 Δt' = γΔt 。
另一方面，在 S 座标系看来，是 S' 座标系的时间走得较慢，
因此会有 Δt' = Δt/γ 此一关系式。
而上述两式却相矛盾（突然发觉这问题类似双生子耶）。
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问题点在於，对於这个问题所定义的 Δt 与 Δt' 而言，
时间膨胀关系式并不是 Δt' = Δt/γ ，
而应是 Δt' = γΔt ，对两座标系都是如此。
原因是两事件所满足的是 x_1 = x_2 这一条件，非 x_1' = x_2' 。
恩推导这一关系式的过程会比较容易讲清楚：
由劳伦兹变换，
ct_1 = γ( ct_1' + βx_1' )
ct_2 = γ( ct_2' + βx_2' )
两式相减，
cΔt = γ( cΔt' + βΔx' )
而由於我们是要比较我们的座标系与该 proper frame 中的时间流量，
因而时钟必须静止在 proper frame 里
（若不是的话所显示的 Δt' 就不是 proper frame 的时间流量了），
故要求 Δx' = 0 （即 x_1' = x_2' ）。因此，
Δt = γΔt'
但在这个问题里，
头、尾与 P 线相交此两事件所满足的是 Δx = 0 而非 Δx' = 0 ，
所以 Δt 与 Δt' 的关系式非 Δt = γΔt' 而应是 Δt' = γΔt
（推导过程和前面几乎一样）。
对於这个问题用比较直接的说法就是，
虽然 S 看来是 S' 的时间走的比较慢没错，
但这里的两事件却不是「静止」在 S' 里，而是「静止」在 S 中
（两事件无所谓静不静止，这儿的意思是位置一样），
所以这个「时钟」显示的时间流量并不是 S' 的（而是 S 的），
用 S 的时钟流量和它比较便显得没什麽意义。
但若在 S' 里用 S' 的时钟和它比较就会有：
两座标系对这两事件的时间差之间的关系式是 Δt' = γΔt 。
※ 引述《s1290961 (煦)》之铭言：
: 原文恕删
: x_1 、 x_2 分别指 S 座标系中物体头与尾在 t_1 、 t_2 时刻的位置；
: S' 座标系则为相对该物静止的座标系。
: 由劳伦兹变换，
: x_1' = γ( x_1 - βct_1 )
: x_2' = γ( x_2 - βct_2 )
: 两式相减得到（ Δx := x_2 - x_1 ）：
: Δx' = γ( Δx - βcΔt )
: 而由於我们仗量长度时是要求测量「同时刻测得的 x_1 与 x_2 」间的距离，
: 所以要取 Δt = 0 （即 t_1 = t_2 ）。故，
: Δx' = γΔx
: 而此即是长度收缩的公式 L = L_0 / γ 。
: 这公式是有条件的，是同时测量头尾位置而得到的位置差（长度）才会满足。
: 但在这个问题中，我们要求 Δx = x_2 - x_1 = 0 而 t_1 与 t_2 不相等，
: 已违背收缩公式推导时的要求，所以这里才会不满足劳伦兹收缩公式。
^^^^^^
这里的不满足是指 Δx 与 Δx' 之间不满足，
是我搞错原po的意思了。很不好意思。
另外，对於我先前的推文，我想把它补充的完整一点：
「长度收缩与同时刻的相对性有着直接关系」，
指的是劳伦兹变换类似於一般座标系的旋转，
它可以被视为是时空座标系的双曲角旋转，
而由於旋转前後「长度」（时空间隔）不变，
若在空间的投影部分（ Δx ）改变了，
在时间的投影（ Δt ）也必须要改变，以确保「长度」不变。
时间膨胀也类似，只是它处理的是类时间隔，
而长度收缩所处理的则是类空间隔。
关於这旋转可以参考维基百科：
http://goo.gl/qkdCi
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◆ From: 111.184.191.127
1F：→ s1290961:如果还有错或问题麻烦提出，感谢。 07/11 18:26
2F：推 JackBarock:我很想知道 膨胀跟收缩是真实存在还是观察性的存在 07/12 00:02
3F：→ JackBarock:之前用表格比较了时间膨胀的结果来看双生子诡辩 07/12 00:02
4F：→ JackBarock:可是发现观察下是有膨胀,但两者互观察的话是互有膨胀 07/12 00:03
5F：→ JackBarock:所以我有点想不通,到底有没有膨胀 - - 07/12 00:03
不会有矛盾的。我想这也可以从旋转来理解个大概。
问题在於我们定义的长度或时间间隔，并非劳伦兹不变量，时空间隔 Δs 才是；
就好像一般座标系的旋转操作里，物体在 x 、 y 方向的投影量并非不变量，长度才是。
两个间夹有一角度的座标系 S 、 S' （假设两者间单纯只有旋转的关系），
躺在 x' 轴上的棍子在 x 轴上的投影量会比棍长短，
而躺在 x 轴上的棍子在 x' 轴上的投影量也会比棍长短，
这两个叙述是不相矛盾的。
「两人看到对方的棍子都觉得是对方的棍子的投影量变短了」，
这件事是不会有矛盾的，因为两人看到的都是对方的棍子，不是同一根；
而时间膨胀也类似，两个座标系里都看到对方的时钟走得慢了，
也是不会有矛盾的，因为两人看到的都是对方的时钟，并不是同一个时钟。
我们所定义的长度与时间间隔并非劳伦兹变换不变量，
所以座标选取是会影响到这些量的；
这些量的改变并不意味着被描述物发生了本质上的变化，
这只是单纯因为座标的选取不同罢了。
对於这些，我觉得从「旋转」来大略的理解应当是个不错的途径，
也可以避免掉一些不必要的困惑。
6F：推 JackBarock:S大能帮我解惑一下吗 > < 现在没解决就得等开学问教授 07/12 00:07
7F：推 harveyhs:肉眼要观察的话还要考虑光线传到你的眼睛 07/12 00:51
8F：→ harveyhs:长度收缩是你安排在时空中每个点的夥计帮你量到的 07/12 00:52
9F：→ harveyhs:互相观察的确是互有膨胀，但你没办法回来重新一起比较 07/12 00:53
10F：推 xgcj:你观察到的东西就是物理现实 ... 互有膨胀本身不矛盾 07/12 05:52
※ 编辑: s1290961 来自: 111.184.191.127 (07/12 22:45)