※ 引述《xgcj (ㄨGc丁)》之铭言： : 其实 ▽˙B=0 => 所以 B=▽╳A 这种推论是错误的 : 我们在推导公式的时候都是说 如果有一个场B : 他可以写成B=▽╳A 这样的话 我们才可以直接推断 : ▽˙B=0 : 也就是说 B=▽╳A =>▽˙B=0 这样才对 我们并不知道有没有可能 : 有某种B 他的▽˙B=0 但是 B并不能写成▽╳A : 不过在R3中 这是双箭头 但是谁有没有100%的信心说这就是R3 : ===================================================== : 回到原点 所以倒底有没有磁单极呢?? : 我们从最基本的马克斯威开始想 : 马克斯威方程式是长得这样子的 : ▽˙B=0 (1) : ∂B : ▽╳E+ ──=0 (2) : ∂t : ▽˙E=ρ (3) : ∂E : ▽╳B- ──=j (4) : ∂t : 基本上除了最後一条有部分是猜出来的 其他都是实验得来的 : 而线在我们会用上两条式子 : E=-▽Φ-∂ A : t : B=▽╳A : 以前都以为这两条是补助的式子 : 因为用这两条 可以轻易的去推导出(1)(2) : 但是後来我们发现Aharonov–Bohm effect : 这效应跟我们说明了 事实上 Φ A 不应该只是补助量 : 他应该是更基本的量 : 如果是更基本的量 那我们是不是可以把B写成 : B=▽╳A 而去推出 ▽˙B=0 : 其实 不能只考虑这样 : 虽然B=▽╳A 保证说 ▽˙B=0 : 但是我们要考虑的A在整个空间中到底能不能适用 : 因为A他可能是一个local的量 : 同一种A 并不一定能推广到所有空间的成立 : 蛤? 你问我再说什麽? 我直接说明好了 : 我要用B=▽╳A 去做出磁单极来! : 首先怎做呢? : 我有点懒的算 直接给答案好了 : 我们有An 根As两种vector potential : 在球极座标底下 : g ^ : An=── tan(θ/2) ψ : r : -g ^ : As=── cot(θ/2) ψ : r : 这两者 分别有他们的适用范围 An只被定义在θ=/=π的地方 : As只被定义在θ=/=0的地方 : 一个在上半球 一个在下半球 中间覆盖的地方 差一个"规范变换" : An-As=▽Φ Φ=2ψ 这样子的A场的确可以看起来像在原点处制造出一个值为g的磁荷 但正是由於该场在θ=π/2 处的不连续，使得该处又有等量的磁通量流进原点 使得磁通量的净流出仍然是零 θ=π/2处的磁通量可以这样算： 由旋度在球坐标的表示式 ^ 1 ∂ ┌ ┐ ▽╳A = r-------- -----│sinθ A │ rsinθ ∂θ └ ψ┘ g -g 由於该A场的值在 θ=π/2-δθ 到 θ=π/2+δθ 由 ------ 变成 ------ (δθ为一小角度) 4πr 4πr 故上式可写为 -g g ------ sin(π/2+δθ) - ------ sin(π/2-δθ) ^ 1 4πr 4πr ▽╳A = r----------- -------------------------------------------------- rsin(π/2) (π/2+δθ)-(π/2-δθ) 整理一下就得到该处的磁场 ^ g B = ▽╳A = -r ------------- 4π(δθ)(r^2) 磁通量 = B˙2(δθ)r˙2πr = -g 简单的说 虽然这样子的A场的确制造出一个均匀向外发散的磁通量+g (因此等价於一个在原点的磁荷g) 但同时又在θ=π/2 处制造出了一个流向原点的磁通量-g 所以总体的净磁通量仍然是0 (也就是▽˙B = 0 啦) 诚如上一篇所说的，只要这整件事仍然是在R^3发生的 B = ▽╳A 就等价於 ▽˙B = 0 --

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