※ 引述《xgcj (ㄨGc丁)》之铭言： : ※ 引述《justsaygood (猴)》之铭言： : : (以下该标向量的,请脑内补齐XD,) : : 想一下学到高斯定律▽˙E=ρ/ε 用高斯定理 化为积分型式(可能你会比较好理解) : : ∮da˙E=∫dvρ/ε 高斯面上的总通量可因面内包的带电物而"有值" : : 这代表我们可能单一找到电场的"源" 或 "滙" : : 源的话就像,一正电粒子(场线外散).滙的话就像一个电子(场线收入) (这就是所谓电单极) : : 回到▽．B = 0 用高斯定理 化为积分型式 : : ∮da˙B = O 封闭面上的总通量永远为零 : : 这代表我们永远找不磁场单一的"源"或"滙" : : 即磁场散出去(源)必有其他完全收入的地方(滙),所以无法像电那样有"单极" : : 所以▽．B = 0这式子隐喻了无磁单极这件事 : : 来讲vector potential这由来 : : 相量分析有个式子,任意向量K, 旋度後再散度=0 : ▽．▽×K = 0 : : 这时我们看到了 ▽．B = 0 ,勇敢的把B改写成▽×A, 等式依旧满足 : : 这时就多了一个A来处理磁的问题了. : : 而这A是由▽．B = 0的条件下产生的,所以先天上已包含了无磁单极这个条件 : : A再怎麽去玩,可预见都逃不出无磁单极. : : 如果▽．B没有等於0 , 就不会有我们学到的这个A : : 题外: 电的▽×E = 0 一样有个向量式 可以让我们多取一个纯量函数Φ : : 来处理电的问题 ,而Φ符合我们常见的E=-▽Φ : : 而Φ我们叫它位,它是纯量所以是纯量位 : : A是向量,所以类比叫向量位 : 其实 ▽˙B=0 => 所以 B=▽╳A 这种推论是错误的 : 我们在推导公式的时候都是说 如果有一个场B : 他可以写成B=▽╳A 这样的话 我们才可以直接推断 : ▽˙B=0 : 也就是说 B=▽╳A =>▽˙B=0 这样才对 我们并不知道有没有可能 : 有某种B 他的▽˙B=0 但是 B并不能写成▽╳A : 不过在R3中 这是双箭头 但是谁有没有100%的信心说这就是R3 : ===================================================== : 回到原点 所以倒底有没有磁单极呢?? : 我们从最基本的马克斯威开始想 : 马克斯威方程式是长得这样子的 : ▽˙B=0 (1) : ∂B : ▽╳E+ ──=0 (2) : ∂t : ▽˙E=ρ (3) : ∂E : ▽╳B- ──=j (4) : ∂t : 基本上除了最後一条有部分是猜出来的 其他都是实验得来的 : 而线在我们会用上两条式子 : E=-▽Φ-∂ A : t : B=▽╳A : 以前都以为这两条是补助的式子 : 因为用这两条 可以轻易的去推导出(1)(2) : 但是後来我们发现Aharonov–Bohm effect : 这效应跟我们说明了 事实上 Φ A 不应该只是补助量 : 他应该是更基本的量 : 如果是更基本的量 那我们是不是可以把B写成 : B=▽╳A 而去推出 ▽˙B=0 : 其实 不能只考虑这样 : 虽然B=▽╳A 保证说 ▽˙B=0 : 但是我们要考虑的A在整个空间中到底能不能适用 : 因为A他可能是一个local的量 : 同一种A 并不一定能推广到所有空间的成立 : 蛤? 你问我再说什麽? 我直接说明好了 : 我要用B=▽╳A 去做出磁单极来! : 首先怎做呢? : 我有点懒的算 直接给答案好了 : 我们有An 根As两种vector potential : 在球极座标底下 : g ^ : An=── tan(θ/2) ψ : r : -g ^ : As=── cot(θ/2) ψ : r : 这两者 分别有他们的适用范围 An只被定义在θ=/=π的地方 : As只被定义在θ=/=0的地方 : 一个在上半球 一个在下半球 中间覆盖的地方 差一个"规范变换" : An-As=▽Φ Φ=2ψ : 你会发现这两种A在互相重叠的地方都可以得到相同的B : 而这一个B做高丝面的积分之後会得到一个g的磁荷值 : 之後再用倒一些量子力学的周期条件 你可以得倒电荷根磁荷之间的关系 : 其实根Φ的π1群有关 π1=Z : 但是说下去又好像太数学 所以先不说了 : 而这从头到尾 都不影响 B=▽╳A 这条式子 : 所以事实上 还是有可能有磁单极存在的 : 至少目前的理论 没有去否定他 我是刚刚看到Spivik的流形上的微积分给了一个证明,後来我根据xgcj看了Nakahara之後 我想想,Nakahara是写div B =0 ,Dirac用一种对称性质想要把磁单极做出来, 接着就直接改Maxwell第二条><,上学期旁听电动印象是老师说他想教但是没时间,因为 也真的没找到啊,史丹佛那个宣称找到的人应该是....... 3 Dirac令div B = 4πg δ (r) ,那我的问题跟这没关了><,以为Dirac可以用div B = 0 造出磁单极B,这跟Poincare lemma无关,抱歉,不过如果真的要考虑div B = 0,B =culr A 我的考虑就真的回到那个问题><,不会有磁单极发生,因为就定义域要排除,他的A_n跟A_s 都在特殊的奇点,这本来就是可以的没有违反Poincare lemma,好吧,算我耍笨>< 因为抱歉我也没认真看,我一直以为是Dirac想要找一个div B = 0,B =culr A 抱歉 所以磁单极要出现就是要强制命令div B =/= 0 --------------------------------- 我觉得我似乎找出破绽了XD,因为我深信Poincare lemma在欧式逆定理也一定是对的 如果是欧式空间其实你没考虑定义域的问题,因为这B和A都一定单值实函数 由微积分 -1 -π π tan x =θ; θ定义域 (____ ,____) 2 2 so tan(θ/2) = x; θ定义域 (-π,π) -1 cot x = θ; θ定义域 (0,π) so cot(θ/2) = x; θ定义域 (0,2π) 我还可以算一个tan(θ/2)的θ有效范围给你看(另一个给你><) 1 -1 y θ = ___ tan (___) ; where x > 0, y > 0 2 x π 1 -1 y = ___ + ____tan (___) ; where x < 0 2 2 x π = ____ ; where x = 0, y > 0 4 3π = ___ ; where x = 0, y < 0 4 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.181.152 ※ 编辑: Lindemann 来自: 140.113.181.152 (12/08 02:43) ※ 编辑: Lindemann 来自: 140.113.181.152 (12/08 02:45) ※ 编辑: Lindemann 来自: 140.113.181.152 (12/08 02:52) 谢谢您提醒>< ※ 编辑: Lindemann 来自: 140.113.181.152 (12/08 04:17)