※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之铭言： : 运动学中： : 定义x'(t)=v(t), v'(t)=a(t) : 有不少人说：a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt) 是对的， 这是对的 : 还藉此推导了一些公式来解题目， : 我怀疑这是错的。来这边问问大家。 : 对照 Calculus textbook 上 chain rule 的 syntax, : df(g(x)) df(y) | dg(x) : --------- = ------ | * ------- : dx dy | y=g(x) dx : (注：stewart, larson, varberg 等家伙的微积分书的 chain rule 都没有 | : |y=g(x) : 的写法，而都是直接写 df(g(x))/dx = (dy/du) * (du/dx)， : 对不起，我必须说他们全都写错了 :)。 书没错，书一定会交代 y=f(g(x)) , u=g(x) 一定是你没看清楚 : 如果你是老师，记得讲课时帮学生更正一下。 : ) : 话拉回来， : chain rule 要能成立，可是有前提的。 : 对整个被微分对象而言， : 1. 他必须是两个函数所合成的合成函数f(g(x))， : 等号右侧可写成二项相乘： : 一项是 ── 外面的函数f以y表示时(即f(y))，对y微分的结果 : 或者说：f(y)对y微分，得到的导函数再将y=g(x)代入 : 或者说：说 f(g(x)) 对 g(x) 微分 : 注意，不能说f(x)对g(x)微分，那差太远了 : 另一项是 ── 里面的函数g(x)对x微分。 : 总之，这要能成立： a=(dv/dx)*(dx/dt) : (以下我先假设他是对的，用反讽的手法推论下去，得到不对或矛盾的结果， : 而知假设错误，得到 a= (dv/dx) * (dx/dt) 为错 ) : 根据上面 chain rule 样貌，a 应等於 dv(x(t)) : ---------- : dt : 这样就是说， v(x(t)) 微分恒为 a(t) 罗！？ : 又同样逻辑， a= dv(t)/dt， 所以 a= dv(t)/dt = dv(x(t))/dt， : 两个函数的导函数一样，不知道有没有两个函数必相等的 theorem， 会差个常数 : 如果有， v(t) 就是 v(x(t)) 了！也太不可思议。 简单讲就是你犯了一个滥用符号的错误 v(x(t)) 代表 v(.) 是 x 的函数 v(t) 代表 v(.) 是 t 的函数 两个不一样的函数你用同一个符号 难怪会出问题 若要同时提及这两个函数 最好用不同的符号 例如 v=f(t)=g(x)=g(x(t)) : 网路上不少人以之为对（他们给不出证明），我有点保留。 : 请大家来讨论看看。 --

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