作者wohtp (会喵喵叫的大叔)
看板Physics
标题[问题] 那我也来问一下 action
时间Thu Jul 4 04:29:39 2013
古典力学下面，action 的极值发生在满足运动方程式的时候。
可是，反正系统不可能违反运动方程式，其他的路径物理上都没有实际
意义。
或者换个角度来看，可以说只有运动方程式才是真的，action 只是我
们为了方便而发明的数学玩意。
那麽，给定极值的条件，我们可不可以发明很多个不同的 action，但
是全部都对应到同一个古典力学系统？
我问这个问题是因为，丢进 path integral 量子化的时候，有意义的
就不只是是极值而已了。
我已知的例子：
1) 加个 total derivative。根本没差不讨论。
2) 用 auxilliary field/Lagrange multiplier 去 enforce constraint。
例如 O(n) model 或 SUSY(?)
3) 跟 GR 有关的 action 常常有个该死的根号，偷天换日一下就可以让它不见。
例如 Einstein action --> vielbein
Nambu-Goto action --> Polyakov action
其实後面两个例子里面，dynamical variable 根本都不一样了。
有没有可能有
同样的dynamical variable，非常不同的 action？
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 183.171.160.153
1F：推 yw1002:我猜你说的大概类似conformal symmetry/mapping那种 07/04 13:54
好像也不是。
首先，我想问的就是没有对称性的时候。虽然古典运动方程式一样，但是
exp(iS) 一离开鞍点会变成完全不同的东西，有没有这样的状况？
考虑一个 R --> R 的函数，只给定几个 stationary point 的位置，我可以画
出一堆不一样的图来。
换成 R^n --> R，给定几个 hyper surface，要求这个函数在上面的的梯度是零，
剩下来的部分还是随我画。
再换成 {R --> R^n} --> R，现在 domain 更复杂了，剩下来给我自由发挥的部
分不是应该更大吗？
※ 编辑: wohtp 来自: 183.171.165.240 (07/04 18:01)
2F：→ Vulpix:我想这个答案很可能是否定的？如果只是"一个解"的话，那确 07/05 10:07
3F：→ Vulpix:实自由发挥的空间太多。可是现在要同时看所有可能的运动， 07/05 10:09
4F：→ Vulpix:或许这样会比较像给定y=k时，x必须满足f(x,k)=0？ 07/05 10:10
5F：→ Vulpix:也还只是猜测而已 07/05 10:11
你说的「所有解」差别只在起始条件跟边界条件吧？
Lagragian哪里管你这个？
※ 编辑: wohtp 来自: 183.171.174.216 (07/05 17:24)
6F：→ Vulpix:或许可以先考虑看看这个情况："直线们"可不可以是其他 07/05 17:48
7F：→ Vulpix:Lagragian的EOM？毕竟这个case应该比较好讨论，得出结论後 07/05 17:49
8F：→ Vulpix:再推广应该更容易吧。 07/05 17:49
9F：→ Vulpix:"直线们"可不可以是其他Lagragian的EOM的解 07/05 17:50
10F：→ Vulpix:刚刚试了一下，确实可以找到其他的Lagragian，现在想找找看 07/05 18:18
11F：→ Vulpix:所有的Lagragian，能知道他们全体的行为应该会很方便吧。 07/05 18:18
12F：→ caseypie:其实我看不懂，不过spin glass的partition function 07/05 21:27
13F：→ caseypie:当成虚数时间的action，会不会有你想要的东西 07/05 21:27
我想到一个例子。
一维粒子的 Lagrangian
.
L = x^2 / 2 - V(x)
..
可以看成是把 x + V'(x) 积分得到的。
--edit--
其实应该是 S = \int L dt 才是运动方程式的积分啦。
--edit--
那我把运动方程式改写成
..
exp(x) [ x + V'(x) ] = 0
左边怎麽积分我不知道，但是微分会变成左边的 L 没道理不存在。
因为 exp(x) 当然不是零，古典物理不会受影响。
但是量子化以後应该会是很不一样的东西？
※ 编辑: wohtp 来自: 183.171.174.216 (07/05 22:24)
14F：推 yw1002:你那个L不能直接这样微分。古典视时空绝对不相干，但是在 07/05 22:41
15F：→ yw1002:特殊相对论，时空要合并 07/05 22:42
16F：→ yw1002:动量跟场都要relativistic 07/05 22:42
17F：推 yw1002:运动方程式写成那样是fourier transform? 07/05 22:44
我们维持non-relativistic好不好？而且我也没跟你说场论啊。
※ 编辑: wohtp 来自: 183.171.174.216 (07/05 22:58)
18F：推 yw1002:那个exp(x)好像是作某种transformation? 07/05 22:57
※ 编辑: wohtp 来自: 183.171.174.216 (07/05 23:04)
19F：推 yw1002:action指的是一个不变量(adiabatic invariant)至於你会观察 07/05 23:03
20F：→ yw1002:到什麽结果就视你的参考座标而定 07/05 23:04
21F：→ yw1002:你用了exp(x)表示你要在相空间里观察它吧 07/05 23:05
22F：→ yw1002:先normalization，然後density matrix 07/05 23:07
我说y大，你骗骗无知的小孩就算了，到我这篇里面烙名词是要闹哪桩？ ﹙ˊ_>ˋ﹚
※ 编辑: wohtp 来自: 183.171.174.216 (07/05 23:12)
23F：推 yw1002:你的问题似乎是「各种观察对应到同一个不变量action；那 07/05 23:09
24F：推 ren1072:adiabatic invariant 是这样用的喔... 07/05 23:09
25F：→ yw1002:有没有可能反过来也成立？」如果是这样那就不叫不变了 07/05 23:10
26F：→ yw1002:会变表示你要重正规化 07/05 23:10
27F：推 yw1002:d'Alembert那些人没有广义几何的概念，virtual action只考 07/05 23:14
28F：→ yw1002:虑场对路径切向量的部分。但是法向量虽然不作功，却会影响 07/05 23:14
29F：→ yw1002:曲率 07/05 23:15
30F：推 yw1002:我猜你的问题在数学上很像就是，一个曲线一次二次微分相同 07/05 23:18
31F：→ yw1002:有没有可能三次微分不同？你站在同一点固定不动当然是这样 07/05 23:18
32F：→ yw1002:但是如果有covariant derivative的概念 07/05 23:19
33F：→ yw1002:就很像perturbation里divergence、asymptotic freedom那样 07/05 23:20
34F：推 yw1002:w大说的是 07/05 23:26
35F：→ caseypie:其实我看懂了，第一眼扫过去而已其实没在阅读Orz 07/06 01:04
36F：→ caseypie:不过我还是无法参与讨论，因为我不懂path integral（囧） 07/06 01:04