"动量势"的图像在几何学里面似乎是比较直观的： 从动量势可以解出 Lagragian 子流形，那个 S 称为生成函数 有些做几何表示论的数学家会把 Lagrangian 子流形看成 "量子点" 想成受到测不准原理的节制，如果在某一方向(比方说位置 q)是确定值 那麽在他的共轭方向(p)就会无限制的长出去，但他不一定是平直的 可以是弯弯曲曲的子流形，只要每点切空间都符合p即可。 至於辛流形这东西，其实很多谜题数学家也还没有弄得很清楚 像是辛变换，由古典力学的 Lioville 定理可知辛变换一定是 相空间中的保体积映射，可是1985年Gromov发现了一件奇特的事情 叫做 Gromov non-squeezing theorem 说的是在 2n 维空间中 给定 r<R 则半径为R的球体 绝对不可能经由辛变换(逐点正则变换) 嵌进半径为r的圆柱体 这真的很奇怪，因为 Liouville 告诉我们辛变换是保体积的 但是 Gromov 告诉我们一个体积有限的球甚至无法经由辛变换 嵌进体积无穷大的圆柱体。 这个定理的原始证明非常艰深， 而且直到现在数学家也还没弄清楚他的内涵是什麽。 有人认为这象徵一种"测不准原理" ， 或者是量子现象的几何学表述.... ※ 引述《pipidog (如果狗狗飞上天)》之铭言： : : 请问各位大大，这有什麽比较好理解的方式吗@@？ : 被召唤了,只好出来.前面提出了一些自己对於古典力学中action的看法,但那是我自己 : 的看法,谈不上什麽观念,也不是正规的表述.看不懂也就算了.古典力学最重要的表述 : 还是least action.这个观念会一直推广到量子,重力,光学.试着接受它! : 我认识一位学纯数,研究一些关於规范,丛理论,还有弦论这类问题的朋友讨教过,问他有 : 没有办法对action给点图像,结果它跟我侃侃而谈起了数学上的辛形流之类的东西,企图 : 说服我数学家已经很了解这玩意了,很多图像早就给出来了.不过反效果!因为当下我就认 : 知到一件事情,action没有具体的图像! 至少没有让物理人容易理解的图像! : 我曾经好几次跟一些同行谈起了我自己对於古典力学中action的看法: : 把S看作势,把L跟H看作是粒子跟旁观者看到的势的时变,把HJ方程看作S的运动方程. : 我很意外的发现,大多数的人听到之後,都有一种"很舒服"的感觉,反驳我的很少,称赞这 : 图像很舒服的很多.其实别说它们,就连我自己都有这样的感觉.後来我才发现,这种很舒 : 服的感觉,其来有自: : "有一个物理量A,A的时间演化满足一个微分方程f,给我边界条件,我就可以解f得A" : 这就是物理学家思考的逻辑,任何物理的表述,只要是满足这个逻辑的,不管那个f有多 : 复杂,有多古怪,对物理学家来说,这个物理已经作完了.剩下的只是用解数值的问题. : 但至於f的背後到底有什麽意义?回答不了,也讲不出来!因为这就是"law"! : 所以在这个点上,action就具有了启发性的意义了!因为在我上面的微分的表述里,HJ方 : 程没有意义,它就只是一个"law".但如果你从积分来表述这个问题,H-J方程竟然有了几 : 何意义! 它是满足S为极值的路径所导出的结果!在这里,H-J方程不是公设,不是上帝之 : 手,更不是"law",而是粒子各种路径中,千挑万选,选出来的最好的那条路径的特性! : 如果看到这里,还没有震撼的感觉的话,赶快再去读一读古典力学! : 很神奇不是吗? 在微分的表述里面,原本视为是公设的"定律",当我们尝试用一种等价 : 的积分形式来表述的时候,这些"定律"竟成了某种直观的几何图像的结果! 几何,人类 : 对空间最原始的冲动! 自古皆然! : 但如果是这样,为什麽人类天生就对积分充满着一种说不出的反感? 我的看法是,因为 : 一个用积分写下的物理定律不符合直觉! 它会把我们习以为常的locality宇宙给弄成 : non-locality了! 古典力学的least action表示什麽? 表示一个粒子,要从A走到B,走 : 之间它必须先假想所有可能的路径,这些路径将会走遍整个宇宙,整个空间,每一个点, : 每一个面,每一个不为人知的所在,然後在这些路径里面然後挑一条积分最小的来走.如 : 果把问题拉高一点,到了形而上的层次,这种因为积分所引出的问题就有得搞了. : 我们会问:1.粒子怎麽知道他要走到B? 2.粒子凭甚麽事先知道哪条路径积分值最小? : 这些矛盾,是一个用微分形式写下来的运动方程完全不会遇到的问题.但是一旦用积分 : 写下来,一切都不一样了.所以如果有这麽一天,你发现某个描述物理系统的微分方程 : 竟然存在等价的积分表述时,一定好好珍惜它背後的图像,因为它们都是一种"合理的 : 荒谬!" : 所以我常觉得,如果一个人读了古典力学,却不对里面的原理感到疑惑,痛苦,矛盾,哪 : 表示你完全没搞懂古典力学.古典力学是不可能读懂的.因为这牵涉到的是时间空间 : 背後更深刻的本质,还有那些我们想不通,理解不了的许许多多晦暗的几何特质.而古 : 典力学跟量子力学间那些许许多多的,令人讲不清,参不透的对应关系,更是说不清的妙. : 你喜欢non-locality的感觉吗? 我不喜欢,而且我还有一个好夥伴,它叫爱因斯坦,他 : 也很不喜欢! : 那麽最後的问题来了,古典力学无论积分也好,微分也罢,追根节底它们都是牛顿方程 : 的等价表述.所以回答这些问题,其实也就是在问,牛顿的运动定律,那个连国中生都会 : 算的F=ma,它背後究竟还暗示了什麽我们从来不了解的故事? --

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