作者paperbattle (?)
看板Physics
标题Re: [闲聊] 为什麽版上几乎没有讨论非线性?
时间Wed Apr 22 02:08:02 2015
※ 引述《peter308 (pete)》之铭言：
: 我觉得非线性是非常有用的一门课
: 里面的数学很简单 大学生甚至高中生就会
: 可是可以应用的领域五花八门
: 从讯号 工程 生物 经济 社交 化学 雷射 半导体 电浆 统计物理 相变 重整化群
: 等等都有
: 可是怎麽感觉版上很少人讨论?
: 是因为太简单了吗??
: 虽然数学很简单 但我觉得怎麽去建构模型出来才是最有挑战性的
: 有人也对非线性有心得的吗??
我来讲一下的感觉
我心中的物理如果只用一句话说 就是写出合理的(微分)方程 然後找出解
在大学时 大家都修了电磁学
一定都用过分离变数(separation of variable)去解里面有Laplacian的微方
举例来说
Heat equation (说来惭愧我大学念物理时从来没去算这东西 反而是念数学有)
u' - △u = 0, u = u(x,t), x in R^n, t>0
u(x,0) = u0(x)
这东西有存在且唯一解
而且是initial data u0(x)对fundamental solution的convolution
可以直接代进去
或是用分离变数u(x,t)=v(x)w(t) 都可以作
但是 很重要 但是 如果u0(x) >0 的话 则在所有 t>0, u(x,t)>0 for all x
代表heat propogation的速度是无限大 所以这个模型有瑕疵...
但是你又不能拿相对论进来算 (可能有这种方法 请指正)
所以一个改法就是用power law
改成
u' - △(u^m) = 0, m = 1+ 一个小小正数 >1 其他条件不变
则算出来的东西会比较接近实际情形
但现在方程式变成非线性以後
separation of variable 不能用 不能用 不能用
很重要讲三次
光是不能用分离变数这点 大学等级的物理跟数学就死光光了
但我们想不想求解? 想阿...有没有人在解...有阿 用我看不懂的东西
数值解的话
我知道一般的heat equation可以用有限元素法(finite element method)解
非线性 抱歉我连energy norm都不知道怎麽定义...更别谈数值解会不会收敛到真正的解
(连有没有解都不知道 会不会收敛 会不会收敛到错的解 要花多久来解 都是问题)
非线性方程式很重要 像是Navier-Stokes equation
也很多人在用
但是为什麽不教给大学生
因为 太 难 了
先把线性的学好有点感觉後再去处理这种问题吧
我感觉你是来( ′﹀‵)／︴<>< <>< ><> ><> 的
不过非线性确实重要 也该有点讨论 所以大家被钓一下也无妨
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http://i.imgur.com/7edKGRL.jpg
Sent from my imouto
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※ 编辑: paperbattle (71.236.38.2), 04/22/2015 02:16:39
1F：→ sukeda: 不只如此 非线性微分方程也不能FT或LT来解 04/22 07:16
2F：推 sukeda: Diffusion eq. 虽然好解 但真的不会在大学四大力学遇到 04/22 07:23
3F：→ sukeda: 也是在非平衡统力才正式接触 04/22 07:24
4F：→ noonee: 我一直有个问题 非微扰要怎麽解？ 04/22 07:42
6F：→ recorriendo: 请看这本书 很详尽了 04/22 08:37
7F：推 peter308: 强烈建议大学部应该在应数课里面加入非线性的节数 04/22 09:39
8F：→ peter308: 而且不要总时数不要低於整学年1/3 非线性太重要了 04/22 09:40
9F：推 Entropy1988: heat propogation的速度是无限大是什麽意思？ 04/22 10:35
我初始条件没写清楚 u0(x)要compactly supported,
假设我们考虑R^1, u0(x)只有在[0,1]上不为0的话 得出来的u(x,t)
只要t>0 u(x,t)就会>0 比如说u(100000km, 0.00001 second) 也>0
可是u(100000km, 0 sec) =0, 所以代表0.00001秒里面 十万公里外的点就有反应
同理你想取多大就多大 这当然在现实中不成立
※ 编辑: paperbattle (71.236.38.2), 04/22/2015 11:24:59
10F：推 Entropy1988: 懂了。模型都要看适用尺度吧。 04/22 11:47
11F：→ Entropy1988: 你是遇到非把非线性项引进来的状况吗？ 04/22 11:48
我只是举个数学上的例子而已
※ 编辑: paperbattle (71.236.38.2), 04/22/2015 12:05:07
12F：推 rex0707: 我系上大三热传学就有用有限差分解热传方程式 要写程式 04/22 13:36
13F：→ wohtp: heat equation其实就是free particle Shroedinger eq 04/22 17:14
14F：→ wohtp: dispersion relation 是 w ~ k^2，波的速度没有上限 04/22 17:15
15F：→ wohtp: 所以要是初始条件里面存在 k --> infty，无限远处也会在瞬 04/22 17:16
16F：→ wohtp: 间有反应 04/22 17:17
17F：→ wohtp: 所以这个的确是尺度问题，虽然你放个top hat进去数学上是可 04/22 17:20
18F：→ wohtp: 以解，但是物理上你已经把这个热传模型玩坏了 04/22 17:21
19F：→ wohtp: 咦，heat eq 和 Shroedinger eq 其实好像差了一个 i... 04/22 17:24
20F：→ wohtp: 啊没差啦，把我第一句话改成Shroedinger eq in imaginary 04/22 17:25
21F：→ wohtp: time就可以了，结论还是一样 XD 04/22 17:25
22F：→ sputtering: 偏微分方程解法不一定要分离变数还是有很多的解法 04/22 19:55
23F：→ sputtering: 解析解 04/22 19:55
24F：推 sputtering: 比如说可以用双变数傅立叶变换降成单变数傅立叶变换 04/22 20:07
25F：推 peterqlin: 推最後一段 04/22 22:22
26F：→ caseypie: 也可以用重整化群解，虽然只能知道一些特徵量 04/22 23:52
27F：推 jack7775kimo: 例子一的heat equation要加条件才能"唯一"喔 04/23 01:41
28F：→ jack7775kimo: cf: Folland, Intro. to P.D.E.s(1995) pp.144-145 04/23 01:42
29F：推 physicslover: 纯推签名档(?) 04/24 19:32
30F：推 chihshanfang: 推签名档 04/26 17:57
31F：推 sputtering: 推签名档+1 04/27 07:28
32F：推 HDT: 这告诉我们 选错签名档无论内文多麽认真都没用 04/27 10:33
33F：推 peter308: 签名党老实说我看不懂 不就马卡龙? 04/27 14:18
34F：→ Entropy1988: 你真的有imouto吗 04/28 00:07
35F：推 HDT: 假妹控 04/28 12:21