略讲解一下 ※ 引述《Akromas (爱若玛)》之铭言： : 我在书上看到说 : : 如果玩掷硬币游戏的公平赛局， : 也就是说用掷硬币来决定输赢 : : 若出现正面，你得到一元；若出现反面，则是你输一元。 原 po 举的例子是投掷公正铜板的随机试验 定义随机变数 X 为 X(正面) = 1 与 X(反面) = -1 且让 Xi 代表第 i 次试行的随机变数 : 而硬币是一个完全公正的铜板， : 亦即出现正面与反面的机率都是1/2的话。 : 就理论上来说 : : 玩的次数若越多， : 则期望值越趋近於0(正面与反面出现的次数越接近)。 上面两句话有两个错。 (错误一) 假设执行了 n 次的试行, 令 Yn 为其总和 (也就是说 Yn = X1 + ... + Xn )。 Yn 期望值就是 0, 不会随着 n 越大值会变得不一样。 (错误二) 期望值越趋近於 0 不代表正面与反面出现的次数越接近。 理由雷同, 如果期望值是 0 不代表投十次铜版一定五次正面, 另外五次一定是反面 : 但统计学家实际用程式去跑时， : 竟发现当游戏次数若很多多到超过一定次数时， : 期望值反而是越不会趋近於0 ! ^^^^^^ 不是期望值, 应改成总和 Yn : 而且当游戏次数越多时， : 则每次程式跑出来的结果反而是离0越来越遥远...... 这里应该是说当 n 越大, 反而 Yn "倾向" 离 0 越远。 用倾向的意思是, 有时会近一点, 有时会远一点, 但整体来看, 是离 0 越远的。 : 比如拿投掷10万次和投掷5万次的期望值与来比， : 则投10万次的期望值反而会与0差距较大。 : (而且硬币是完全公正的1/2、这试验做了很多次的结果都一样。) : 请问这是真的吗 ? 先别拿 5 万次与 10 万比较, 拿 1 次与 100 次来比。 Y1 一定与 0 相距 1 单位, 而 Y100 很难与 0 相距 1 单位以内。 : 以及为何会有这种奇怪的情形呢 ? : 感谢～ 简单来说, E(Xi) = 0, Var(Xi) = E(X^2) = 1 E(Yn) = 0, Var(Yn) = n Yn 的变异数是随着 n 变化的。n 越大, 变异数越大, 所以倾向离 0 越远。 这个问题类似 1) 投铜板越多次, 掷出正面的次数越接近一半 2) 投铜板越多次, 掷出正面的比率越接近 1/2 哪一个是对的? --

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