k k o -------- () --------o 两小球质量m在两侧,中间一大球质量M, 用弹簧(弹力常数k)连接, 求1.特徵频率(考试通常只考到这) 2.振动模式 (要懂物理要解到这) 首先, 先解释一下特徵频率, 特徵问题是早期在说明"能量不连续"的一种数学技巧 如今被广泛的应用在各种工程问题上 特徵值可谓之为工程中所实际测量到的值 特徵向量则是相应特徵值所代表的状态 我举个例子,一台贩卖机,卖舒跑10元,沙士10元,可乐15元 则10元15元则代表特徵值,所对应的饮料则是特徵向量 整台贩卖机就是这个问题的特徵空间 再补充说明一下, 这个问题10元是重根,对应到两个不同的特称向量, 所以可以对角化 可以对角化又代表什麽意义?? 要解释这个就要扯到测不准原理,在此略. 如果这个贩卖机改成舒跑10元,舒跑10元,可乐15元 则此特徵问题10元仍是重根,但仅对应一个特徵向量"舒跑" 则个问题为"兼并", 无法对角化, 有测不准的问题 (简单说明测不准:当你花10元买了一罐舒跑,你是押了贩卖机左边的舒跑还是右边的?) 当这系统在特徵频率(特徵值)振动时,每个物体的振动情形就叫做振动模式, 取三球连线为x轴, 当3球偏离平衡位置时的位移依次为X1 X2 X3 第一步 写 Eq of motion 不难就是虎克定律 mX1" ("代表微前面那个符号两次) = k (X2-X1) MX2" = -k(X2-X1) + k(X3-X2) (1) mX3" = -k(X3-X2) 第二步 设 X1=A1 *cosωt X1" X2=A2 *cosωt X2" X3=A3 *cosωt 求出 X3" 代入 (1) 接下来就是A1 A2 A3的3元一次联立方程 第三步 若希望A1 A2 A3 有 non- trivial solution (就是非零解) 系数行列式要为零,解出ω 解ω各位将面临有点复杂但是只有国中程度的数学. ω有3个,解出以後,ω1 = 0 代表不振动(trivial!) 另外两个ω2 and ω3 大家可以带入(1) 解出 相对应的A1 A2 A3 然後在想想他的物理,如果数学算出来的振动模式 跟 你认为系统应该出现的振动模式相符,这题你就会了!(但我相信其中还有疑问,但我认为 那是线性代数,也就是数学方面的问题了.) 解这题,若你是第一次解,花个一小时跑不掉. --

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