作者lovekwen (我的名字叫孤独)
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标题[情报] 台大99年微积分B 解答
时间Wed Jul 14 17:13:11 2010
考卷网址:
http://exam.lib.ntu.edu.tw/sites/default/files/exam/undergra/99/99020.pdf
填充
1. -2
2. 44
3. (1,0)
4. 2-m/2
5. (0,0,3)
6. [5/3,7/3)
7. (100/√34)-(32/5)
计算
8. 三边长: 6,9,9 最大体积: 144π
9. 1944π
解说
填充
1. 反有理化
2. 先令u=x^2 再令v=√(9+u)
3. 令f(x)=4x^3-6x^2+6x-3知f`(x)>0严格递增且因f(x)为奇数次多项式,故p=1
令g(x)=(2x^2+3)(x-1)^2+x^2知g(x)>0,故q=0
4. 抛物线与直线相交於4-m,分割的左块是D的一半,进行积分即可解出k
5. 根据定义计算(详见推文)
6. 利用比值法得区间,再检查端点歛散性即可
7. 直接微分(Leibniz公式)
计算
8. 先求出三角形之形心,再利用Guldin-Pappus得旋转体积,将约束条件代入并且
单变数化後对体积微分求极值即可得解(详见推文)
9. 平面Green定理
--
我送你离开 千里之外 你又跑回来
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.47.85.42
1F：推 newsboy3423:(0,0,8/3)? 07/14 17:19
2F：→ newsboy3423:有公布了吗?? 07/14 17:19
3F：→ hsnuyi:帅 ="= 填充就错两题... 07/14 17:21
4F：→ newsboy3423:答案来源是? 07/14 17:22
不好意思,来源是我自己XDD
5F：推 chinfanster:屌 07/14 17:26
6F：→ chinfanster:我可能跟你同分喔~~ 07/14 17:27
7F：推 newsboy3423:高手 填充题那题分割的做出来了!!!!! 07/14 17:27
8F：→ newsboy3423:啊 看错 不过计算第一题做出来 神!!!!!! 07/14 17:28
9F：推 newsboy3423:XD 07/14 17:30
10F：→ hsnuyi:分割那题很鸟 後面一大串到最後微分会微掉... 质心可以写一 07/14 17:31
11F：→ hsnuyi:下算法吗? 07/14 17:31
由於对称性,设质心为(0,0,z)
根据定义:
∫∫∫z dm ∫∫∫z(24z)dV ∫∫∫z^2 dV
z= ────── = ──────── = ────────
∫∫∫ dm ∫∫∫(24z)dV ∫∫∫z dV
4
其中 ∫∫∫z^2 dV = ∫∫ ∫ z^2 dzdydx
x^2+y^2≦4 4-(x^2+y^2)
2π 2
= ∫ ∫ 1/3 [64-(4-r^2)^3] rdrdΘ
0 0
= 64
4
∫∫∫z dV = ∫∫ ∫ z dzdydx
x^2+y^2≦4 4-(x^2+y^2)
2π 2
= ∫ ∫ 1/2 [16-(4-r^2)^2] rdrdΘ
0 0
= 64/3
故 z = 3
12F：推 newsboy3423:啊 会微掉啊?????? 囧 07/14 17:32
13F：推 newsboy3423:8是拉格朗日乘数? 07/14 17:37
14F：推 newsboy3423:恩恩 07/14 17:39
15F：推 blueboy:全跟你一样 但我最後一题是1944拍 07/14 17:50
16F：→ blueboy:质量中心我用材力方法看到 不用算 谁用matlab算一下 07/14 17:52
17F：推 newsboy3423:我请我朋友算 要是这题错 转学考就掰了 07/14 17:54
18F：推 newsboy3423:软体(0,0,3) 07/14 18:04
19F：→ hsnuyi:计算第二题我也算1944拍... 不过第一题爆了 07/14 18:04
有一个可爱的2放前面忘了乘进去XDDD
20F：→ newsboy3423:z的下界不是跟x y有关? 07/14 18:06
21F：→ hsnuyi:N大帅啦 =v= 话说我令 dv=拍zdz欸... 07/14 18:06
22F：→ newsboy3423:上界应该是4 下界应该是x^2+y^2???? 07/14 18:07
23F：→ newsboy3423:仅供参考 我很没信心 = = 07/14 18:07
24F：→ pigfisher:x^2+y^2 > 0 07/14 18:08
25F：→ pigfisher: = 07/14 18:08
26F：→ newsboy3423:不过他会乱跑啊 不能直接用0吧??? 07/14 18:09
27F：推 newsboy3423:如果下界代0 印象中会变圆柱?? 07/14 18:12
28F：→ newsboy3423:微积分倚天宝剑有一题 图形同 但密度不同者 07/14 18:13
29F：→ newsboy3423:下界也是代x^2+y^2 (他变换成r^2了) 07/14 18:14
30F：→ pigfisher:喔喔抱歉我是用圆盘法取的 感觉会简单些 07/14 18:15
31F：推 newsboy3423:啊 你说得是不是r的上下界 p大? 07/14 18:20
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 18:23)
32F：推 newsboy3423:刚爬了原PO的文 原来是大老啊 我真是有眼不识泰山 囧 07/14 18:27
33F：推 hanabiz:推 有没热心强者提供一下物理的 07/14 18:40
34F：推 j76852002:靠杯...才6X 午扬学长你好帅>///< 07/14 19:04
35F：→ j76852002:粗心啦.....喷血... 07/14 19:06
36F：推 newsboy3423:希望我第三题凹得到分= = 07/14 19:06
37F：推 lyricslee:请问(1,0)那题的零要怎麽做出来呢?? 07/14 19:13
38F：推 hsnuyi:补推 楼上加油~ 07/14 19:13
39F：推 j76852002:原PO的答案就是答案了! 知名补习班助教 不容怀疑! 07/14 19:16
40F：推 newsboy3423:检查斜率为零之点与x轴关系即可 (轴上 上方 下方) 07/14 19:20
41F：推 newsboy3423:先将那个方程式微分 求出斜率为0之点 07/14 19:22
42F：→ newsboy3423:将点代入原方程式 观察其值(y座标)与x轴关系 07/14 19:23
43F：→ newsboy3423:因为方程式首项系数>0 故该点之y 07/14 19:24
44F：→ newsboy3423:大於0则实根为0个 小於2个 等於1个 07/14 19:24
45F：→ newsboy3423:忘了说明 该方程式的一次微分 只有一根 07/14 19:25
46F：推 lyricslee:问题是那个跟解不出来阿@@ 07/14 19:41
47F：→ lyricslee:我不知道到底有没有切道或削到x轴 07/14 19:42
48F：推 aj0938:对呀 要判断那个跟在哪也有点难度 07/14 19:43
49F：推 newsboy3423:解不出来?????????? 07/14 19:44
50F：→ hsnuyi:那个根在+x方向 且离原点很近 (题目其实还满有人性的) 07/14 19:45
51F：→ hsnuyi:据说是可以用计算机的... 07/14 19:46
用计算机的话,这题q=0是马上得解
但想说若不用计算机的话,要将极值位置判断出来也可用牛顿插值法
52F：→ piano9913:....K那题我只写个2这样对嘛= =? 07/14 19:46
53F：推 lyricslee:考微积分可以用计算机??? 07/14 19:47
54F：推 aj0938:一直都可以吧 07/14 19:48
55F：推 newsboy3423:可以用喔?????????????????????????? 07/14 19:48
56F：→ aj0938:恩 可以的 07/14 19:48
57F：→ lyricslee:写在哪阿(我要崩溃了....) 07/14 19:49
58F：→ aj0938:所以第2题其实.. 07/14 19:49
59F：→ aj0938:应该说没有写哪堂不能带吧 只说不能带可记忆型的 07/14 19:49
60F：推 newsboy3423:T_T 07/14 19:50
61F：→ piano9913:惨了只有75，崩溃.... 07/14 19:50
62F：→ newsboy3423:我要那题凹到才有75 = = 07/14 19:51
63F：→ newsboy3423:快抓狂了 07/14 19:52
64F：→ piano9913:机率很低吧，看错题目感觉学校大概会无视这种事情= = 07/14 19:53
65F：→ piano9913:毕竟跟考卷出题和阅卷人无太大关系 07/14 19:53
66F：→ newsboy3423:不过我不觉得是"看错"耶 只觉得是我跟他的解读不同 07/14 19:54
67F：→ piano9913:你是读成甚麽?? 07/14 19:54
68F：推 lyricslee:哀大家都75.....我也对是75= = 07/14 19:54
69F：→ newsboy3423:算了 我直接冲去台大行政大楼 把我的理由打出来送去 07/14 19:54
70F：→ newsboy3423:最大公因数 = = 07/14 19:54
71F：→ hsnuyi:K那题只写2当然不行... 它会随m变动 07/14 19:55
72F：→ newsboy3423:题目应该是说数对吧 07/14 19:55
73F：→ newsboy3423:不过那个符号真的可以解释成最大公因数啊 @@ 07/14 19:56
74F：→ aj0938:我也觉得要叫我们算数对为什麽不切成2格就好 07/14 19:57
75F：推 piano9913:不知道该说甚麽，只是在考的时候我知道题目在问数对... 07/14 19:57
76F：→ newsboy3423:高中考卷一看到那个 直觉反射最大公因数 XD 07/14 19:58
77F：→ newsboy3423:希望都给对吧 囧 07/14 19:58
78F：→ aj0938:哀 感觉难度很高 07/14 19:58
79F：推 suncheng610:可以提供微C的答案吗~! 07/14 19:58
赶工中,请稍等QQ
80F：推 lyricslee:回楼上，那题要到分数机率应该趋近0吧 07/14 19:59
81F：推 newsboy3423:T_T 07/14 20:00
82F：推 newsboy3423:感觉如果他是写 (a,b) 那我应该就会回答数对了 XD 07/14 20:02
83F：→ newsboy3423:高中的记忆呀 XD 07/14 20:03
84F：→ piano9913:一进来就看到五楼满分，国文又跟去年出一样题目 07/14 20:03
85F：→ piano9913:今年大概录取分数平均会增加30~50分吧 冏 07/14 20:03
86F：→ newsboy3423:原PO答案有改过的样子 07/14 20:04
87F：→ piano9913:计算7是关键分阿阿阿 07/14 20:05
88F：推 newsboy3423:能上我就很满足了 07/14 20:08
89F：→ newsboy3423:囧 07/14 20:08
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 20:39)
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 20:45)
90F：推 hsnuyi:L大没关系啦 我是写(0,0,3)的 话说我是用单变数解的 (感谢) 07/14 20:44
91F：推 j76852002:一堆75的...让我上边边系就好T^T 残念... 07/14 20:44
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 20:48)
92F：→ hsnuyi:有一位B大应该是90喔 (话说我比较想要知道计算一的详解 ><) 07/14 20:47
93F：→ hsnuyi:其是就算用计算机应该也会跑上一会儿吧... 07/14 20:51
94F：推 lyricslee:计算一可以看成两圆锥，且又因为剩余两边长和要最小保证 07/14 20:54
95F：→ lyricslee:是等腰，这样就可以微分解了 07/14 20:55
96F：推 piano9913:原PO可以PO计算一详解吗，谢谢你 07/14 20:58
此三角形必为等腰三角形,设立座标系如下图所示:
︿Y轴
︳
(0,b) ︳
／＼
／ ︳＼
／ ︳ ＼
／ ︳ ＼
────────────＞X轴
(-a,0) O (a,0)
三角形之形心: (0,y*) = (0,b/3)
三角形之面积: A = 1/2 (2a) b = ab
根据Pappus定理得旋转体体积为:
V = 2π y* A
= 2/3 π ab^2
约束条件: √(a^2+b^2) + √(a^2+b^2) + 2a = 24 (周长为24)
有 a = 6 - b^2 /24 代回
得 V(b) = 2/3 π [ 6b^2 - (b^4)/24 ]
d V(b)
由 ──── = 0 得 b^2 = 72 , b = 6√2 , a = 3
d b
故得最大体积为: V = V(3,6√2) = 144 π
MAX
此时边长为: 6 , 9 , 9
97F：推 blueboy:多项式是最大公因式吧 有最大公因数喔 07/14 21:05
98F：→ newsboy3423:他是问根的个数呀 07/14 21:07
99F：→ newsboy3423:根的个数应该可以算公因数吧 07/14 21:08
100F：→ newsboy3423:而0是任何数的倍数 所以.... 07/14 21:09
101F：推 blueboy:公因数=根? 所以你求方程的工因数 有人这样说吗? 07/14 21:10
102F：→ blueboy:重点在实根吧 不就勘根定理就好了妹 07/14 21:10
103F：→ newsboy3423:p"个"实根 q"个"实根 应该不会有1.5个根吧 囧 07/14 21:11
104F：→ newsboy3423:对啊 就勘根啊 只是我把p q拿来......... 07/14 21:11
105F：→ newsboy3423:看来B大会错我的意思了 = = 07/14 21:12
106F：推 blueboy:谁来讨论一下物理和英文吧 07/14 21:12
107F：→ newsboy3423:英文上面有 07/14 21:13
108F：→ blueboy:你以为()是最大公因数喔 强 07/14 21:13
109F：→ newsboy3423:可是真的可以这样解读啊 = = 07/14 21:14
110F：→ newsboy3423:难道说不是吗? 07/14 21:14
111F：→ aj0938:我第一反应也是这个XD 07/14 21:15
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 21:18)
112F：推 blueboy:来个物理吧 07/14 21:19
113F：→ hsnuyi:计算一答案改了喔! 07/14 21:21
114F：推 blueboy:没差吧 计算一根本没几个会对 07/14 21:24
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 21:27)
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 21:34)
115F：推 carter771220:哭哭 我算3888pi 07/14 21:35
116F：→ hsnuyi:会分段给分的 加油~ 07/14 21:36
117F：推 newsboy3423:希望大家都能有个满意的结果 ^^ 07/14 21:37
※ 编辑: lovekwen 来自: 114.47.85.42 (07/14 21:45)
118F：推 dennis1990:不好意思问个笨问题，怎麽用计算机得q=0啊orz 07/14 21:43
119F：推 suncheng610:看到赶工两字再推一次 辛苦喔^^ 07/14 21:43
可能要明天才会po上版喔~不好意思>"<
120F：→ hsnuyi:计算机应该会有"solve"这个功能 令原方程=0应该会得出无解 07/14 21:45
121F：推 blueboy:祝福大家都考上 07/14 21:45
122F：→ piano9913:blueboy感觉应该都对吧，看你气焰蛮盛的@@ 07/14 21:45
123F：推 blueboy:您误会了 小弟可能让你反感了 我只是去考考看而已 07/14 21:49
124F：→ blueboy:有上赚到 没上多个经验 祝福你考上啦 07/14 21:49
125F：推 newsboy3423:原po辛苦了 真的很感谢!!!!!!!!!!!!!!! 07/14 21:53
※ 编辑: lovekwen 来自: 125.230.212.139 (07/14 22:05)
126F：推 g502011:怎麽都没有人提到连结给错了= = 07/15 00:10
你不说我也没发现耶=3=
谢谢提醒,已更正!
127F：推 NYwang:质心那题 可以用切片积分吧 会很漂亮 积24(pi)*z^2dz 0->4 07/15 00:46
※ 编辑: lovekwen 来自: 122.121.10.184 (07/15 00:49)
128F：→ hsnuyi:我的作法和N大一样 ^^ 07/15 01:17
129F：推 s23325522:Papus 听说不是商科才会考吗...... 07/15 01:31
130F：推 BIEGABOY:可以PO一下切割那题的详解吗?算出来怎麽是2-m/根号2?? 07/15 02:32
131F：推 BIEGABOY:计算一详解里的dydx可以直接积嘛?感觉要区间分割，dxdy才 07/15 03:03
132F：→ BIEGABOY:可以直接积吧!!! 07/15 03:03
133F：推 NYwang:切割那题可以直接用找质心的方法去求吧 求质心座标的X 07/15 03:18
134F：推 BIEGABOY:可是质心的点并不是面积一半的时候??只不过就表质心而已 07/15 09:09
135F：推 boyzone66:面积最大应该是正三角形吧 你自己算算 你把我吓到了QQ 07/15 09:37
136F：→ boyzone66:我害我以为我错了 你的算法面积是27.1 正三角形约27.7 07/15 09:38
137F：→ boyzone66:不好意思 有点语无伦次= = 字都没选好 就推文了 07/15 09:38
138F：推 BIEGABOY:我同意楼上，我也是用正三角形下去算!!! 07/15 09:42
139F：推 boyzone66:差点快哭了 想说15分掰掰 07/15 09:42
140F：→ BIEGABOY:你也是算128PI? 07/15 09:43
141F：推 boyzone66:我忘了 等我一下 重算= = 07/15 09:45
142F：推 s23325522:旋转体那体 我怎算6 9 9 07/15 09:51
143F：推 boyzone66:我忘记我那时候算什麽 但是我现在是算64pi...XDDDDD 07/15 09:52
144F：→ dennis1990:我也是用正三角形 但我那时候算256pi 尬的.. 07/15 09:53
145F：→ dennis1990:另外问一下 我用计算机的solve按出来是写Solve for X 2 07/15 09:59
146F：→ dennis1990:请问这样是计算机笨了 还是我笨了?orz 07/15 09:59
147F：→ boyzone66:我没有很仔细看原PO的算式 但我心里想的是算形心干嘛? 07/15 10:01
148F：→ boyzone66:哪时候体积壳层或圆柱要算形心@@~ 答案128pi 我想起来了 07/15 10:02
149F：→ boyzone66:因为我刚算的时候忘了X2 哈哈 07/15 10:02
150F：推 boyzone66:我算一下他的答案好了 刚手残了一下 虽然1200pi是错的 07/15 10:08
151F：→ boyzone66:但是体积还是比128pi大耶= = 糟糕QQ 又要哭哭了 07/15 10:09
152F：推 boyzone66:他的答案是140pi........................我哭哭去了 07/15 10:15
153F：推 BIEGABOY:他的算法出来是9.9.6，体积是144pi，比128pi大!!!! 07/15 10:30
154F：推 BIEGABOY:楼上有高手写对了... 07/15 10:36
155F：→ hsnuyi:先回答D大的问题:Solve for X时可以输入一组数字 而那组数 07/15 12:43
156F：→ hsnuyi:字是你希望计算机所求出来的根最接近的数字 (因为计算机一 07/15 12:44
157F：→ hsnuyi:次只能求一个根出来) 输入完数字後再押等号即会开始运算 07/15 12:45
158F：推 dennis1990:感谢楼上! 果然是我笨了 07/15 12:55
159F：→ hsnuyi:用Lagrange作出来(9,9,6)是符合的呢 07/15 13:09
160F：推 boyzone66:其实讨论到这里 我想到一个经典题目就是.... 07/15 14:48
161F：→ boyzone66:一个表面积无限大的喇叭 它的体积却是有限的= = 07/15 14:48
162F：→ boyzone66:不管怎样 这题好讨厌 我懒的用lagrange 才变成这下场 07/15 14:55
163F：→ hsnuyi:Lagrange的结果是建立在为等腰三角形的结果下 不知道有没有 07/15 15:32
164F：→ hsnuyi:完整的证明? 07/15 15:32
165F：推 s23325522:看样子应该是有100了... 07/15 16:52
166F：→ hsnuyi:楼... 楼上若无其事的说出吓死人的话... 07/15 17:12
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