作者lovekwen (我的名字叫孤独)
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标题[情报] 台大99年微积分C 解答
时间Wed Jul 14 23:56:11 2010
考卷网址:
http://exam.lib.ntu.edu.tw/sites/default/files/exam/undergra/99/99026.pdf
1. i) 1/2 (x^2 e^x^2 - e^x^2 ) + C
ii) π/4
2. i) f(x) = x^2 [ 1/√(1+x^2) - 1 ] (二项式展开)
= x^2 [ -1/2 x^2 + 3/8 x^4 - 5/16 x^6 + … ]
= -1/2 x^4 +3/8 x^6 - 5/16 x^8 + …
故x^4之系数: -1/2 x^9之系数: 0
ii) g(x) = ( 1 - 1/2! x^2 +1/4! x^4 - … )( x^2 - 1/3! x^6 + … ) - x^2
= -1/2 x^4 - 1/8 x^6 + 1/12 x^8 - …
故x^4之系数: -1/2 x^6之系数: -1/8
iii) f(x)
由上述知 lim ── = 1
x→0 g(x)
3. i) 2π 1
C = A + B = ∫∫ sin(x^2+y^2) dxdy = ∫ ∫ sin(r^2) rdrdΘ
Ω 0 0
= π (1 - cos 1)
ii)
1 √(1-x^2)
A = ∫ ∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx
-1 -√(1-x^2)
1 √(1-x^2)
= 4 ∫ ∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx (偶函数性质)
0 0
1 √(1-y^2)
B = ∫ ∫ sin(y^2)cos(x^2) dxdy
-1 -√(1-y^2)
1 √(1-y^2)
= 4 ∫ ∫ sin(y^2)cos(x^2) dxdy (偶函数性质)
0 0
由哑变数变换知: A = B
4. i) f = 2x + 4y = 0 得 x = -2y
x
f = 4x + 2y = 0 得 y = -2x
y
解得(x,y) = (0,0) 且 Δ(0,0) < 0 故(0,0)为开区间内之鞍点
ii)令L(x,y,λ)= x^2 + 4xy + y^2 + λ(x^2 +y^2 - 1)
L = 2x + 4y + λ(2x) = 2(1+λ)x + 4y = 0
x
L = 4x + 2y + λ(2y) = 4x + 2(1+λ)y = 0
y
欲得x,y之非零解则:
｜1+λ 2｜
｜ ｜ = 0 得 λ = 1 or -3
｜2 1+λ｜
(1) λ = 1 得 x = -y → 2x^2 = 1 , x = ±1/√2 = -y
此时 f = -1
(2) λ = -3 得 x = y → 2x^2 = 1 , x = ±1/√2 = y
此时 f = 3
故绝对极小值: f = -1 , 绝对极大值: f = 3
min Max
iii)综合上述知
在闭区间内之绝对极小值: f = -1 , 绝对极大值: f = 3
min Max
--
我送你离开 千里之外 你又跑回来
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 125.230.212.139
1F：推 ethefalse:偏不看XD" 07/14 23:58
2F：推 hsnuyi:推~ 普物A也麻烦了(逃) 07/14 23:59
3F：→ j76852002:午扬学长好帅>///<~~ 学长~~我在这~~ 07/15 00:07
4F：→ hsnuyi:话说原PO到底是何方神圣阿? 可否透露给愚者小弟我知道? 07/15 00:10
5F：推 sean56892002:感谢原po:)) 07/15 00:14
6F：推 hccj0914:好强!!! 糗大了我=_=" 07/15 00:17
7F：推 j76852002:不要问 很恐怖 XDD 07/15 00:21
8F：→ hsnuyi:是那位跑到清大材料的二类榜首吗?!?! 07/15 00:34
9F：推 khsien:请问...第二题的第三小题是怎麽算的阿?? 07/15 00:44
把f(x)和g(x)的马克劳林级数(由前两小题得)相除之後,分母分子再同除以x^4
取极限就是答案了:)
※ 编辑: lovekwen 来自: 122.121.10.184 (07/15 00:47)
10F：推 dwiee:请问答案，会给部分分数吗?我脑残背错公式，多除以2 07/15 01:19
11F：推 dwiee:关於第3大提 第一小提 07/15 01:48
12F：推 lovehan:推 07/15 03:37
13F：推 mroweht:推猛哥 07/15 07:50
14F：推 wjack: 好强!!! 糗大了我=_=" 忍不住推齐QQ 07/15 10:10
15F：推 vm3h6jp6:原PO神手 微积分每次都拿100分呢! 07/15 10:53
16F：推 laiharvey:吓到 看完後才发现是微C... 07/15 10:59
17F：→ suncheng610:推推 07/15 16:39
18F：推 afflic:这考题实在有点变态@@ 07/19 01:59
19F：→ afflic:积化和差不知到几百年没用到了 07/19 02:00
20F：→ afflic:然後"哑变数变换"是什麽呀...orz 07/19 02:00
21F：推 littlechubby:看来我微C是掰掰了 07/20 13:46
22F：推 jasper436:最後几题不用加拍吗？？？我算怎麽会有拍阿 07/20 20:49
23F：→ afflic:那应该是楼上算错罗 07/20 21:39