作者xiaoa (没有灵魂的人)
看板ask-why
标题Re: [请益] 那我问一个数学好了
时间Fri Jun 5 23:57:42 2009
※ 引述《Equalmusic (Calvin)》之铭言：
: 以下恕删
: 说了这麽多, 你就想问, 为什麽
: 10 * (0.9 + 0.09 + ...) = 9 + (0.9 + 0.09 + ...) 对吧？
: 0.9 + 0.09 + ...前面 didij 已经说了, 用无限等比级数公式就行了
: （因为 0.9 < 1, 所以他的无限次方是 0, 不是趋近於 0）
: 所以 10 * 1 = 10 = 9 + 1 , 就这麽简单
: 所以 0.99... * 10, 小数点後面的 9 还是一样多
我知道你说的. 但问题是你们的看法还是我的看法对
我们都知道 0.99... 有∞个"9"
x10 过後 应该还是 ∞个"9" or ?
现在, 我们想要让 10 x 0.99... - 0.99...
如果要严谨的证明, 我们就必须搞清楚 有多少个 "9"
9.9... 和 0.99..., 在小数点之後, 谁多一个"9"都不行吧?
那要怎麽证明, 10 x 0.99... 之後 是∞个"9" 还是 ∞+1个"9" (包括整数的部分)
Equal大的论述, 应该是说 ∞+1 = ∞
姑且接受
我们就先减..
9.999......9...
- 0.999......9...
9.00000...0000..?
最後一个是谁比较多个"9"呢?
一样多吗?
我们就直接比较二者的 ∞ 是谁的大, 或一样
按Equal大的解释 ∞+1 = ∞
那合理的说
∞+2 = ∞ 也对
∞+∞ = ∞ 也对
那, 请问要怎麽证明: (number of "9" in 9.9...) = (number of "9" in 0.99...) + 1
而不是 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . + ∞
而且必须是刚好?
所以有两种推测
1. 无法计算(因为无法得知谁比较多or比较少)
2. 是应该是刚好一样多, 扣除整数的"9" 则
9.999......9...
- 0.999......9...9
8.9999...9999..1
如果你们还坚持 10x 0.99..之後, 会perfectly刚好多出一个"9" (不多不少刚好一个)
--
请证明
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.244.42
1F：推 nameofroses:我觉得你还是没看清楚前面几篇 XD 06/06 00:02
也许吧
我只是没接受 无穷小 是不存在, 而不是 存在但找不到
2F：嘘 JASS0213:我觉得你还是不要再丢脸了，因为你连乘法都不会。 06/06 00:05
3F：推 Equalmusic:楼上的不用这样吧...先说一句 ∞ 基本上不能拿来加减 06/06 00:08
不能拿来减, 你又减......
9.99... - 0.99... = 9
4F：推 HuangJC:..楼上这样就不对了,专业者要有耐心,不要傲慢..关机就好了 06/06 00:08
5F：→ Equalmusic:所以碰到 ∞ 我们都会想办法避开他 06/06 00:08
6F：→ HuangJC:XD 超人刺中隐形侠 06/06 00:09
7F：→ Equalmusic:剩下的交给板上强者吧...我要去吃饭了好饿...XDD 06/06 00:09
8F：推 WINDHEAD:帮JASS0213翻译:"乘以10"这个动作是两个集合间的一一对应 06/06 00:09
9F：→ WINDHEAD:两个集合分别为{0.99..中的9}与{9.999...中的9} 06/06 00:10
10F：→ WINDHEAD:"除以10"就是"乘以10"的反函数. 总之这两个集合一样多 06/06 00:11
谢谢. 我知道这个. 问题是後续的计算
11F：推 WINDHEAD:其实这讨论串看下来我还是不懂大家争论的核心在哪 06/06 00:15
12F：→ WINDHEAD:可行的步骤 : 用某种方式构造实数系(允许加减乘除) 06/06 00:15
13F：→ WINDHEAD:再据此讨论 0.9... 是这个实数系的哪个元素 06/06 00:16
好难 > <
※ 编辑: xiaoa 来自: 140.112.244.42 (06/06 00:22)
14F：推 WINDHEAD:目前看起来, 你们似乎没有共同的讨论基础 06/06 00:18
15F：→ HuangJC:呵,我想到 p 进位;如果 0.999~ 我们无法思考,那我令它为一 06/06 00:19
16F：→ HuangJC:单位,创造出 0.999~ 为一单位的进位体制,再来运算 06/06 00:20
17F：→ HuangJC:另外 x^无限大 次方,我记得是检验 x 是否为 1 的好方法 06/06 00:21
18F：→ HuangJC:当 x=1- ,f=0;x=1+,f=无限大;只有 x=1 而非趋近,f才=1 06/06 00:21
19F：→ HuangJC:那我能不能要求 0.999~^无限大次方 ,用这个方法证明? 06/06 00:22
20F：→ HuangJC:当然,为了取信,我不允许先把 0.99~ 变成 1 再来算 06/06 00:26
21F：→ nameofroses:我似乎没有说无穷小是不存在啊 所以才说没看清楚嘛XDD 06/06 00:33
22F：推 HuangJC:楼上没说,但 0.999~=1 的网页里是有这麽说;它说造成学生无 06/06 00:35
23F：→ nameofroses:9.99... 跟 0.99... 都不是无穷大啊 = = 06/06 00:35
24F：→ HuangJC:法接受,心理不安的理论之一是认为无穷小存在;但它不存在 06/06 00:35
25F：→ nameofroses:这样喔@@ 06/06 00:35
26F：→ xiaoa:欧, 口误, 是 不等於0的无穷小 不存在.(你说0.000...? = 0 ) 06/06 00:36
27F：→ nameofroses:这里有批九好无穷啊～ 有需要就构造这个实数系吧～ 06/06 00:36
28F：→ xiaoa:JC大, "存在但找不到" 跟 "存在"意义不同喔 06/06 00:38
29F：→ nameofroses:0.000...whatever = 0 这跟不等於0的无穷小何干? 06/06 00:39
30F：→ nameofroses:我承认我不清楚无穷小是啥...但我的证明似乎跟它没关 06/06 00:41
31F：→ xiaoa:也对 XD 0.000...whatever 还不是无穷小 06/06 00:41
32F：→ nameofroses:不如说说什麽是你说的无穷小 06/06 00:42
33F：推 HuangJC:首先呢,无穷小不存在已经被承认了,先夹去配吧;再来谈证明 06/06 00:43
34F：→ HuangJC:我上一篇已经证过了呀,它不是存在而找不到,它是不存在 06/06 00:44
马的,你推文这麽多. 我眼睛都瞎了.....
35F：→ HuangJC:你必需知道,极限本身是加减乘除之外的一个新符号工具,它描 06/06 00:44
36F：→ HuangJC:述的不是常数.比如 f'(x)|x=5 和 f'(2x)|x=5 并不同 06/06 00:45
37F：→ HuangJC:更严重的,千万不能 c=f(5),求出来後对 c 微分,那一定只有0 06/06 00:45
38F：→ HuangJC:换言之,一个点的本身,是没有斜率的,它最早就从求斜率的需 06/06 00:46
39F：→ HuangJC:求去建构这个符号运算工具,我们可以想像它是一个和真理平 06/06 00:47
40F：→ HuangJC:行的工具,你说它永远不是真理,但它求的值永远和真理够近 06/06 00:47
41F：→ HuangJC:再搭上连续,夹挤..这符号工具说它可以帮你求值,就这样 06/06 00:47
42F：→ HuangJC:一个点没斜率,如果没这工具,我们就只能求一个区间的斜率 06/06 00:48
43F：→ HuangJC:但区间又可以无限小;所以点附在函数上可以求,点本身不能求 06/06 00:49
44F：→ HuangJC:无穷小就像那个点,本身没意义,但放进函数就有意义 06/06 00:50
45F：→ HuangJC:这个点的左右极限是关键,连续也是关键;一但不连续,工具就 06/06 00:50
46F：→ HuangJC:破功了,就算有漂亮的运算也不符合符号创建时的语意逻辑 06/06 00:51
47F：→ HuangJC:所以它是一个数值加上语意的工具,和原先的加减不一样 06/06 00:51
※ 编辑: xiaoa 来自: 140.112.244.42 (06/06 00:53)
48F：推 HuangJC:x->c1 时,f(x)->c2 ,的确永远不等於,但有机会 f(c1)=c2 06/06 00:53
49F：→ HuangJC:如果连续,f(c1) 不等於 c2,那我也无法想像它要是多少.. 06/06 00:54
50F：→ nameofroses:我觉得xiaoa只是不接受没有一个数"刚好"小於三吧 其 06/06 01:00
51F：→ nameofroses:实有这个数 只是不是以2.999...表达罢了 06/06 01:01
我认为2.99...就"刚好"小於3
如果2.99...=3,
那就没有"刚好"小於3的数
因为, 这样看时 0.0000....1的差值被视为 0
但是, 任何限定的 0.0000000000001 都不能表示「刚好小於」这一个差
则三种可能:
1.「所有刚好小於3的数」 = 3 <--矛盾
2. 你无法表达「那一个刚好小於3的数」, 但它存在
"无法表达"换句话说其实就跟"找不到"一样
事实上「那一个刚好小於3的数」是跟 我认为的 a = 1 - 0.99... 一样
a 就是「那一个刚好大於0的数」.....存在, 但无法表达/找不到的数
这也会变成矛盾, 因为 3 - 2.99... = a 有差存在
3. 「所有刚好小於3的数」不存在
那如果"刚好大/小於x的数"不存在, 2.99...=3 没问题
那 x < 1, 最靠近 1的x也不存在了, 就好像 x 和 1之间多了个空白区
--
以上说法有点反来覆去, 但基本上就是2种:
1. a「那一个刚好大/小於的数」 存在, 但无法表达/找不到
2. a「那一个刚好大/小於的数」 不存在
※ 编辑: xiaoa 来自: 140.112.244.42 (06/06 01:45)
52F：推 HuangJC:不存在.. 06/06 01:47
※ 编辑: xiaoa 来自: 140.112.244.42 (06/06 01:49)
53F：→ HuangJC:极限小不是常数,是一个可以用,但不存在的数 :P 06/06 01:49
54F：→ nameofroses:楼上的意思是？ 06/06 01:49
55F：→ nameofroses: 喔喔 06/06 01:49
56F：→ HuangJC:再讨论下去,我家这边的鸡也要喔喔了~ 06/06 01:50
57F：→ nameofroses:有"刚好"小於3的数 只是无法用数字表达罢了 06/06 01:51
58F：→ nameofroses:矛盾是因为 3 - 2.99... = a, a = 0 没有差存在 06/06 01:52
59F：推 Equalmusic:没有刚好小於 3 的那个数, 这叫实数的稠密性 06/06 01:55
60F：→ Equalmusic:给定任何两个实数都可以找到第三个实数处於他们之间 06/06 01:56
61F：→ Equalmusic:除非你要说 2.99...不是实数 06/06 01:56
62F：推 nameofroses:这样啊 ... 06/06 01:58
63F：→ xiaoa:2.99...是实数 2.99....和3之间找不到第三个实数在他们之间 06/06 01:59
64F：推 Equalmusic:其实任何两个实数之间的数, 都跟实数轴上的数一样多 06/06 02:00
65F：→ Equalmusic:当然啦, 因为他们两个是同一个数阿... 06/06 02:01
66F：→ Equalmusic:好啦, 给定任意两「相异」实数...囧 06/06 02:01
67F：→ Equalmusic:如果你说 2.99...< 3 那 (2.99.. + 3)/2 等於多少？ 06/06 02:02
68F：推 Equalmusic:别跟我说这两个相异「实数」不能相加除以二... 06/06 02:04
终於 XDD
WINDHEAD 说的果然是对的, 还是要架构出一个可以讨论的实数空间才行
众人云云都不能证明什麽
只有这才是核心
这里顺便说一下
之前有一篇 自然数和偶数是否一样多的问题就可以用这个解释
这跟"无限"的性质有关
自然数和偶数的无限多是同一个等级的, 叫 第一??
所以 自然数和偶数被认为是一样的无限多
而实数的无限多是另一个更高的等级, 叫 第二??
目前还没有发现更小或更大得无限
如果有高人知道是怎麽回事, 可以乘机骗点P币
69F：推 nameofroses:2.99....和3之间找不到第三个实数在他们之间←有你这 06/06 02:14
70F：→ nameofroses:句话 就足够证明2.99.... = 3 了!! 可喜可贺 06/06 02:14
※ 编辑: xiaoa 来自: 140.112.244.42 (06/06 03:03)
71F：→ Equalmusic:我觉得风头说的太复杂了...我们讨论的就是大家从小学的 06/06 03:35
72F：→ Equalmusic:标准分析教材里面那四五个 postulates 阿... 06/06 03:35
73F：推 Equalmusic:当你说 2.99...是 3 旁边那个数的时候, 你就得面对 06/06 03:38
74F：→ Equalmusic:他们相加除以二的那个数是什麽 06/06 03:38
75F：→ Equalmusic:如果你没办法面对...那你就要问你的假设出了什麽问题 06/06 03:38
76F：推 phreniax:其实这问题应该不会算难吧? 在我的经验中~ 06/06 03:40
77F：→ phreniax:有心的话去找本代数来看吧^^ 06/06 03:41
78F：→ phreniax:把无线限维度的空间概念都看懂就懂了~ 06/06 03:41
79F：→ phreniax:这也是回你最後一段回文 06/06 03:42
80F：→ phreniax:找点高等代数来看 脾气好慢慢看 把"同构"学好 06/06 03:43
81F：→ phreniax:你所说的什麽几级无限 我跟朋友都戏称大无限小无限~ 06/06 03:44
82F：→ phreniax:这也是高等代数里面同构可以解决的 06/06 03:45
83F：→ phreniax:其实说等势和集合大小一样 这是不对的 06/06 03:46
84F：→ phreniax:大一的线性代数里面 你可以轻易找到等势却不同构的例子 06/06 03:47
85F：推 phreniax:T属於线性映射从V打到V普浪 两个空间都是无限多个元素 06/06 03:50
86F：→ phreniax:但是基底个数不同 这边就有你脑中大无限跟小无限的差异了 06/06 03:51
87F：→ phreniax:那个0.9999~乘十之後 还是同一个无限多维~ 06/06 03:52
88F：推 Equalmusic:不是很懂你说的...为什麽会讲到代数或是同构？ 06/06 03:53
89F：→ phreniax:也就是说T的例中 前空间的元素有可能後空间"展"不出来 06/06 03:54
90F：→ Equalmusic:集合大小只跟集合元素有关...跟他的 binary operation 06/06 03:54
91F：→ Equalmusic:有什麽关系？ 06/06 03:54
92F：→ phreniax:但0.999~的 可以展得出来(from同构) 06/06 03:54
93F：→ Equalmusic:同构必须要两个相同的 system 才会同构 06/06 03:55
94F：推 phreniax:你口中的system的在数学上定义是? 06/06 03:58
95F：推 phreniax:提到代数只是方法之一 06/06 04:00
96F：推 Equalmusic:定义就是 non-empty set 配上 binary operations 06/06 04:00
97F：→ Equalmusic:像群为 (G, *), 环为 (R, +, *) 之类的 06/06 04:01
98F：→ Equalmusic:同构的意思就是运算前映射跟运算後映射结果一样 06/06 04:02
99F：→ Equalmusic:没有运算的话和来同构？ 06/06 04:02
100F：推 phreniax:ㄜ 运算前映射跟後映射的结果一样 还不是同构 06/06 04:05
101F：→ phreniax:ONE TO ONE AND ONTO 才是 06/06 04:06
102F：→ phreniax:可能要请你找大一线性代数里面定义看了 06/06 04:08
103F：→ phreniax:解决这文的问题必须在无限多维用同构的等价命题解决 06/06 04:08
104F：→ phreniax:其实代术真的很好用= = 常常算微积都要靠代术才能在算下 06/06 04:09
105F：→ phreniax:去~ 只是代数中可实际应用的部分远比微积分少 06/06 04:10
106F：推 Equalmusic:这...这我当然知道阿...bijective 是前提阿 囧 06/06 04:10
107F：→ phreniax:不然代数可是比微积分有着"更高"观点呢^^ 06/06 04:11
108F：→ Equalmusic:先映射後映射是 homomorphism 的条件阿 06/06 04:11
109F：→ Equalmusic:重点在於这跟集合元素数量完全没关系吧... 06/06 04:11
110F：→ Equalmusic:两个集合要是没有 bijective...更不用谈同构了 06/06 04:11
111F：→ phreniax:充分?还是必要? 还是充要? 06/06 04:12
112F：→ Equalmusic:而之所以能同构, 前提就是两个集合一样大阿 06/06 04:12
113F：→ phreniax:不是...是要证出同构 就是一样大的无限... 06/06 04:13
114F：→ phreniax:前後顺序反了... 06/06 04:13
115F：→ phreniax:"一样大的无限"是用xia的口吻讲的~书上没这样的用词 06/06 04:14
116F：→ phreniax:(在证出来之前谁知道集合一不一样大 我只是提供一个方法) 06/06 04:16
117F：推 Equalmusic:顺序哪里反了？我讲的不是跟你一样吗？ 06/06 04:16
118F：→ phreniax:你刚用了"前提"两字 06/06 04:17
119F：→ phreniax:你口中前提所指涉的东西就是要用"同构"证的 怎能是前提 06/06 04:17
120F：→ Equalmusic:你的问题范畴错误, 两个集合一样大跟他们构造一不一样 06/06 04:18
121F：→ Equalmusic:根本是两个概念... 06/06 04:18
122F：→ phreniax:谈数学时候请务必小心 前提 结论 充分 必要等 的词汇 06/06 04:18
123F：→ Equalmusic:哇咧....bijection 怎麽会要用同构来证 06/06 04:19
124F：→ phreniax:我从来没提到集合理元素的构造..我只谈数量... 06/06 04:19
125F：→ Equalmusic:bijection 指的是一个能 1-1 跟 onto 的函数 06/06 04:20
126F：→ Equalmusic:isomorphism 指的是一个 bijective 的函数 06/06 04:20
127F：→ Equalmusic:满足运算前映射跟运算後映射相同....你不是数学系的吧. 06/06 04:20
128F：→ Equalmusic:同构就是指构造一样, 不然为什麽叫同构？ 06/06 04:21
129F：→ Equalmusic:两个 system 同构意思就是两个 system 可看做一样 06/06 04:21
130F：推 phreniax:从你的说词中bijectve就是iso 但我们就是要说两集合iso 06/06 04:24
131F：→ phreniax:才是一样大的 但怎麽又会说要bi当前提... 06/06 04:24
132F：推 phreniax:阿我用词要更精准 bi等价iso 不是"就是" 06/06 04:27
133F：→ phreniax:bijection 指的是一个能 1-1 跟 onto 的函数 06/06 04:28
134F：→ phreniax:这是您说的 这命题其实是不精准的(虽然我能理解你要说的) 06/06 04:29
135F：→ phreniax:^^ 06/06 04:29
136F：推 phreniax:等了一下 看来该说晚安了 06/06 04:33
137F：→ phreniax:只是丢个我"看过"的解决方法(并非我想出的) 06/06 04:34
138F：→ phreniax:有心的话去挖书看吧^^ 06/06 04:34
139F：推 Equalmusic:我集合论跟代数都很弱...但请指出我哪里需要再看书？ 06/06 04:47
140F：→ Equalmusic:我另外回了一篇, 为了怕讲错我还特别翻了以前的书出来 06/06 04:48
141F：推 ANXAN:难道有人不知道其实学界中bi有歧义吗 像是台大杨维哲那派 06/06 10:12
142F：→ ANXAN:都很不喜欢用bi 06/06 10:12
143F：嘘 ANXAN:两个集合要是没有 bijective...更不用谈同构了 06/06 10:19
144F：→ ANXAN:bijection 指的是一个能 1-1 跟 onto 的函数 06/06 10:20
145F：→ ANXAN:isomorphism 指的是一个 bijective 的函数 06/06 10:20
146F：→ ANXAN:没有人发现前後语意逻辑矛盾吗 06/06 10:21
147F：→ ANXAN:还问人家是不是数学系的= = 06/06 10:22
148F：推 Equalmusic:哪里矛盾？愿问其详 06/06 18:46
149F：推 Equalmusic:大前提 bi, 小前提 homo, 结论 iso, 哪里矛盾？ 06/06 19:42
150F：→ skyviviema:有人不甘心就换个ID嘘人来耶 好不磊落 06/08 09:01
151F：推 WINDHEAD:我比较想问杨维哲那派是哪派? 从没听过这东西也有分派... 06/08 09:58
152F：推 Equalmusic:真的耶, IP 一样 XDD 06/08 20:37
153F：→ Equalmusic:我也只学过一种 bijection, 就是 Wikipedia 上那种 06/08 20:39