※ 引述《souldragon (太极螺旋)》之铭言： : 一个团体人数如果超过23人 那其中两人生日同天的机率＞50% : 前提假设：每天的诞生人口比例相同(现实里是不均) : 即使如此 如果超一般的推理 一年365天 机率要超过1/2 : 至少要是183人的团体才对 那23这个数字怎麽来的？ : 我从谈机率的书 作者提到这个东西 但没有多做解释 : 维基连结 但写得太复杂了看不懂 : http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%94%9F%E6%97%A5%E6%82%96%E8%AE%BA : 有没有高手能讲解一下.. thanks 如果将题目稍为修改一下，你的作法会是正确的。 请见以下: 假如我先找出183个生日完全不同的人，并亲眼确认他们的证件 把这个183人团体简称为"183 club" 然後，路上再随便抓一个我没有事先安排的路人 请问这个路人的生日和"183 club"当中的任一人相同的机率是多少? Ans : 183/365 ，超过1/2。 问题(2): 如果先找n个生日完全不同的人，并亲眼确认他们的证件 把这个n人团体简称为"A" 然後，路上再随便抓一个我没有事先安排的路人 请问，若要让「这个路人的生日和"A"当中的任一人相同的机率」超过50% 那麽n至少为多少? Sol: 解不等式 n/365 > 1/2 ，得n=183 Ans: 183 好的，看到这里，你觉得我们的问题和生日悖论的问题有何不同呢? 先思考一下 底下防雷 - - 我提出的问题「已经先取了n个不同生日的人在你面前」，其实跟原题义不符 原题目单纯是随机的去取n个路人而已。 我们先从排列组合来想： 如果不先确认生日，而是直接乱找183个路人，那麽他们的生日组合到底有几种? ... 这种分量要算组合数，数字非常大，先从简单的case模拟吧(死 如果找来n个路人， 叫他们每人心中在1,2,3,4,5,6,7,8 当中选一个数在心中记着 先扣除心理因素造成的数字偏好。 则当n为多少时，n人当中现重复号码的机率大於一半? 当n=2，总选法有8^2=64种 当中重复者有8种 :{1,1}{2,2}{3,3}{4,4}{5,5}{6,6}{7,7}{8,8} 所以重复的机率是8/64 = 1/8 我们也可以用"反面"思考方式 假设第一个选数字的人已经选好，则无论他选了哪一个数字， 第二个人如果要跟他"不同"，只有在剩下的七个数当中有机会。 所以选到"不同"的机率是7/8， 那麽选到"相同"的机率就自然是1-(7/8)=1/8 一开始可能觉得反面思考不是那麽直观，但後面用处就大了。 当n=3，总选法有8^3=512种 当中重复者有{1,1,1}{2,2,1}{3,3,3}{4,4,4}{5,5,5}{6,6,6}{7,7,7}{8,8,8} {1,1,2}{1,2,1}{2,1,1} {1,1,3}{1,3,1}{3,1,1} ... 谁在跟你穷举啊(砸) 好啦，所以"反面思考"一下，如果三人都不重复那有几种方式呢? 很简单，第一人有8种选法，第二人若要不重复只剩8-1=7种，第三人则是8-2=6种 不重复机率为 1 ×(1-1/8) ×(1-2/8) = 21/32 重复机率为 1-21/32=11/32≒34% 同理，n=4时 不重复机率为 1 ×(1-1/8) ×(1-2/8) ×(1-3/8) ≒41% 重复机率 => 1-41%=59% 好的，观察到一个有趣的现象 取n=4时，恰好是总人数一半，但是出现重复数字的机率已经高出50%不少 是否已经违反了直观机率呢? 那麽，如果将每个人可选的数字从8个扩展到更大的时候， 会不会在比总数一半更早的时候就会出现重复机率>50%的现象呢? 同样算法套用到生日上 n个人生不重复的机率就是 1*(1-1/365)*(1-2/365)*...*[1-(n-1)/365] 可以自己按按计算机或Excel拉个表格 你就知道大概在n等於多少时，不重复的机率会跌到50%↓ 也就是重复的机率在50%↑ --

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