※ [本文转录自 BridgeClub 看板] 作者: jmc (cryptomatician) 看板: BridgeClub 标题: 双人赛计分 -- Neuberg Formula 时间: Mon Sep 17 23:09:51 2007 一、前言 让我们考虑这样的状况︰星期五晚上的七桌双人赛 (浩威尔 移动方式) 已接近尾声，其中一桌正要进行牌号16的最後一牌， 而其他六桌均已打完最後一圈，等这桌结束即可计算全部成绩。 在第16牌, 先前其余六桌的南北方得分由高至低排列如下︰ 南北 东西 南北得分 5 13 450 12 10 430 3 4 420 7 1 400 14 8 -50 6 9 -100 此桌南北方是第 2对，东西方是第11对。由於每副牌有七个 成绩，顶分是 6序分。在比赛结束後，第 5对有多大机会在此牌 维持最高得分呢？有三种可能︰ (1) 第 2对得分低於 450，於是第 5对获得净顶分 6序分。 (2) 第 2对得分亦为 450，那麽第 5对共享顶分 5.5序分。 (3) 第 2对得分高於 450，则第 5对让出顶分，获 5序分。 如果上述三种情形发生的机率一样，那麽第 5对此牌的序分 期望值 (expected value) 应为 5.5序分。 但是，我们知道这三种情况发生机率不应一样，(1) 的机率 高於後二者。毕竟第 5对已经击败所有其他的五对南北方，他们 很可能再把第 2对比下去 -- 不完全确定，但发生的机会颇大。 因此，在上述条件下，第 5对在第16号牌的序分期望值应该 很接近 6序分，而非 5.5序分。 我们再假设，比赛时间已经拖得太晚，大家都不愿意等这桌 打完；或是赛员发现此牌在前一桌装错方位，东西方的牌放反， 导致这牌无法正常进行，裁判决定指定给第 2对和第11对平均分 (Average) 或高於平均分 (Ave+)。 由於其他牌的顶分均为 6序分，这副牌必须维持相同的权重 (weight)。那麽，第 5对得到多少序分才是合理的呢？由先前的 讨论，我们知道应该较接近 6序分，而非 5.5序分。 也就是说︰若将南北方第 5、12、3、7、4、6 对依序给予 5.5、4.5、3.5、2.5、1.5、0.5 序分，则明显亏待第 5对，也 太便宜应该得到接近零鸭蛋的第 6对；这样的处理虽然计算起来 很简单，但是并不公平。 二、调整 早在1970年代，法国 Gerard Neuberg 即提出解决上述问题 的方法。在桥坛取得共识之後，为世界桥艺协会(WBF)所采用。 沿用以上范例，我们将它的原则作如下说明︰ 南北 得分 频率 序分 5 450 1 5 12 430 1 4 3 420 1 3 7 400 1 2 14 -50 1 1 6 -100 1 0 正常情况下，六个成绩的序分如上表所列。但是此牌应该有 七个成绩，其他牌的顶分均为 6序分，因此我们把上述每个成绩 的出现次数 (频率) 调整变成人为的 7/6 次︰ 南北 得分 频率 序分 5 450 7/6 5x7/6 +1/12 ≒ 5.92 12 430 7/6 4x7/6 +1/12 ≒ 4.75 3 420 7/6 3x7/6 +1/12 ≒ 3.58 7 400 7/6 2x7/6 +1/12 ≒ 2.42 14 -50 7/6 1x7/6 +1/12 ≒ 1.25 6 -100 7/6 0x7/6 +1/12 ≒ 0.08 可以看到，每两个相邻序分的差距都是 7/6。至於额外加上 的 1/12，是为了让上下对应序分加总皆为 6 所作的微调，亦即 5.92 + 0.08 = 4.75 + 1.25 = 3.58 + 2.42 = 6。 若将上述原理公式化，依循桥艺百科全书 [1] 的写法如下， 称为 Neuberg formula︰ M = (S x N) / n + (N - n) / 2n M: 此牌最後的序分 N: 此牌应有的成绩个数 S: 实际比较所得的序分 n: 实际比较的成绩个数 以第 5对为例，此处 N=7，S=5，n=6，因此在第16牌得到的 序分是 M = 5x7/6 + (7-6)/12 ≒ 5.92。 如果第16牌是在第八圈开始放错方位，造成有两组不能互相 比较的成绩，但各组还是可以自行比较并计算序分，则依然套用 上述 Neuberg formula。但若每组成绩只有三个或更少，则不再 使用上述公式，WBF 另有明文规定，且行之有年。 三、应用范围 自1990年起，美国桥艺协会 (ACBL) 追随世界桥协的脚步， 於各大小双人赛全面采用 Neuberg formula。 在美国桥协网站 (www.acbl.org) 上，不但将其发展的计分 程式 (ACBLscore) 提供公开下载，亦准备一套常见问答(FAQ)。 其中第六问的答案即记载了 Neuberg formula，说明当裁判指定 Ave+/Ave- 之後，序分中出现不自然的小数是怎麽来的 [2]。 笔者於美国读研究所期间，观察到双人赛最普遍「怪序分」 是 11.96 和 0.04；此乃常见的一组十三桌 (米契尔移动方式) 少了一个成绩，只剩下12个成绩比较时，净顶分 (pure top) 和 净底分 (pure bottom) 依 Neuberg 公式所作的调整。 世界公开双人赛 (World Open Pairs) 於每四年举行一次的 世界锦标赛 (World Bridge Championships) 之中进行。2006年 世锦赛补充规则 [3] 第31页刊登的公式，与上列 Neuberg 公式 稍有不同，但原理完全一样。原因是世界桥协与欧洲各国举办的 双人赛，习惯以 0、2、4、... 作为序分，与美国或台湾惯用的 0、1、2、... 不同；他们这麽做目的是当有两桌成绩相同时， 避免出现 .5 小数的序分，让数字看起来比较清爽。 关於 Neuberg formula 的来源，笔者在网路上找到最完整 的说明，是由英国裁判长 Max Bavin 撰写的 [4]，本文一开始 的范例即改写自该篇文章的第一个例子。 在这方面，我们落後 WBF 和 ACBL 近二十年之久。为维持 双人赛出现突发状况後的公平性，台湾的计分程式也应开始采用 Neuberg 公式了。 将来如果桥友们参加双人赛，看到序分中出现奇怪的小数， 它们其实没那麽奇怪。如本文所述，它来自 Neuberg formula， 是最为广泛采用的合理调整方式。 四、参考文献 [1] The Official Encyclopedia of Bridge (桥艺百科全书) "Fouled Board" 项目 [2] ACBLscore Frequently Asked Questions, http://www.acbl.org/acblscore/acblscoreFaqs.html [3] Supplementary Conditions of Contest of the 2006 WORLD BRIDGE CHAMPIONSHIPS, http://www.worldbridge.org/tourn/Verona.06/ 2006SupplementalConditionsofContest.pdf [4] Match-pointing boards with an unequal number of scores -- The Neuberg formula, URL 较长但以 Google 搜寻 Neuberg formula 可很快找到 --

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