※ 引述《fishbudin (fishbudin)》之铭言： : 好吧 那再来一题 : 这也是从 http://smartio.blogspot.com 来的 : 假设一架飞机加满油後只能绕地球半圈。 : 不过好消息是飞机可以在空中互相传输油ꄊ: ㄙ`意，是互相给油喔，并没有多出油来﹞。 : 假设传输油的速度都是即时的，就是说传输只需要不到一秒就完成了。 : 请问如果现在要让至少一架飞机从任何一个飞机场出发， : 绕地球一圈回到同个飞机场，至少要出动几架飞机？ : 要怎麽安排？所有的飞机都必须从同样的机场出发， : 并且回到原机场，中途不得降落，中间也没有其他机场。 看到SansWord的答案我发现我下面有个地方没想到 所以以下是错的 错在哪里大家可以找找看 XD 不过大致上只要改一点地方就能证明四架不行了 所以SansWord的答案应该是正解 -- 我的答案是六架 以下先提一个方案: 把六架编号ABCDEF 路上的几个点以下图标记 距离 1/6 1/9 1/2 1/18 1/6 位 5/18 7/9 置０ 1/6 1/3 5/6 １ ├──┼─┼┬───────┼┼──┤ 起 Ｐ ＱQ' ＲＳ 终 点 点 耗油 1/3 2/9 1 1/9 1/3 (设加满是1) (Q'点後半段的证明会用) 首先 ABC三架飞机加满起飞 到了P点 三架都用掉1/3的油 这时C把1/3的油给B 把B加满 自己剩1/3刚好够回程 AB两架再飞到Q点 又各用掉2/9的油 这时A的油剩4/9 B的油剩7/9 B把5/9的油给A 把A加满 自己剩下2/9回航 只刚好够回到P点 於是在适当的时间让D加满起飞 使得BD两架在P点碰头 这时D把1/3的油分给B 自己也剩1/3 两架刚好够回程 从Q点开始独自飞的A 满油可以飞到R点 在这之前 在某个适当的时间让EF加满反向起飞 (也就是从终点往回走) 两台各用去1/3到了S点时 F把1/3的油给E加满 自己回程 E又用去1/9飞到R点 EF起飞的时间是要使得这时让AE在R点碰头 在这里A刚好没油 E还有8/9的油 两架平分 各4/9 刚好够飞到终点 =============================================== 再来证明五架不行 以下称飞完一圈的那架叫A 1.如果不派反向的飞机的话(即上面的E,F) 最後帮A加油的飞机(叫它X)回程途中必须让其他台飞机来加油 否则X飞不回去 要使派出去接X的飞机数量最少 那必须让X再用掉2/3的油才能碰头 (这样只需派一架飞机接X) 也就是说 在行程的中点 两台飞机上至少要有1+2/3的油量 加上他们飞到这里来各耗去一箱油 共计要花去3+2/3的油 这多出的1+2/3得靠别台飞机接济 因此至少还要再派两架 但是这时4架飞机起飞後一共只有4箱油 多出的1/3的油所飞的距离显然不够把所有的油都堆进A和X里 因此还至少得再多派一架 於是以上总计已经至少有六架了 也就是在不派反向飞机的情况下至少也要六架 2.如果像上例一样派反向飞机 显然X和反向最後和A碰头的飞机(叫它Y)飞的距离和=半个地球的两倍 也就是说 X和Y一共花去2箱油 但因为A飞一圈也要2箱油 因此至少要再派两架出去(无论正反向) (一架不够的原因是因为所需要的油还差一整箱 只派一架的话那一架自己飞不回来) 因此这里至少已经有五架飞机 2-1.如果反向只有一架Y 那接人的点最远是上图的S点 (因为一箱油要飞这距离三趟) 这时正向的飞机就得把A送到上图的Q'点 2-1-1.若假设X在送完A後一路飞回去 那A和X在Q'点分开时 两台飞机上一共要有1+2/3箱油 加上飞到这里需要的2/3*2=4/3箱油 共计需要三箱 因此正向至少要有四架 (A和X一共需要三箱 只派三架的话第三架飞不回来) 考虑四架中除A和X以外最晚离开A和X回航的飞机Z Z最早也得在P和Q'的中点才能离开他们 因为最好的情况是Z离开後A和X都是满的 但A和X到Q'点时得剩1+2/3箱油 也就是这段路A和X只能一共用去1/3箱油 各用去1/6 意即Z离开的点离Q'点至多用去1/6的油 那麽Z的来回至少要用掉(2/3-1/6)*2=一箱 这不算在A和X所用掉的三箱之中 表示如此的话正向四架不够 (因为AXZ就用掉四箱了) 2-1-2.如果X像上面的B一样有人(W)来接 W接X的点必定是P点 (理由同上) 那麽X就必须要从Q'点飞回P点 得用去1/3的油 也就是说在Q'点时A和X一共有1+1/3箱油 加上飞到Q'点用去4/3 A和X一共需要2+2/3箱油 类似上面的讨论可知 Z离开A和X的点可以提早到P点 於是Z用掉的油量是2/3 AXZ一共用去3+1/3 但因为W不在一开始出发的飞机当中 它不能分担那多出的1/3的油量 所以必须多派一架出去才行 这样正向也会有五架 综合2-1-1和2-1-2 我们知道反向如果只有一架 正向得至少要五架(包含A,X) 於是一共就至少要六架 2-2.反向的有两架Y,Y' 这时由於Y接人的点可以拉到R点 (Y'最远只能到S点 此时Y是满的 但由於回程多了(两)段耗1/3油的路 Y只能飞到R点接A) X离开A的点就会是Q点 一样分开考虑X一路飞回去或有W来接 2-2-1.X一路飞回去 X的回程需要5/9的油 故A和X分开时一共要有1+5/9的油 加上飞到Q点各5/9 一共是2+2/3的油 类似於2-1-2.的讨论可知正向必须要有(包含A,X)四架才够 (2-1-2.的W这里没有) 2-2-2.X有W来接 同样的 W接X的点是P点 所以X在离开A时 AX一共有1+2/9的油 加上飞到Q点各5/9 一共用去2+1/3的油 再加上一台Z来帮忙的话 Z飞到P点折返 1/3的油给X 正好用去3箱油 (也就是最上面的那个方案) 所以这里正向也有四架 (A,X,Z,W) 於是综合2-2-1.和2-2-2. 正向至少四架 反向两架 一共至少六架 2-3.反向三架:Y,U,V (怎麽好像某颜色表示法= =") 先看三架能把Y送多远 如果三架是以一架一架接力的方式 V用掉1/4後各把1/4油给Y和U加满 Y和U再各用掉1/4後碰到A 各分1/4给A 三台各1/2的油飞回去 这样接A的点可以拉远到终点往前1/4距离的地方 如果是YU先出 V最後来接U的话 U可以送Y到R点再返航 V一样在S点接U 但Y只能再往前1/54的距离(用去1/27的油) 因为回程要用去1/27+1/9+1/3=13/27 所以接A的点拉远到终点往前1/6+1/18+1/54=13/54 < 1/4 因此三架飞机Y,U,V可以把Y送到离终点1/4的地方 但若正向只有二架飞机A和X 则X只能送A到P点 (否则自己飞不回来) 而起点离P点只有1/6 总合1/4+1/6 = 5/12 < 1/2 让A自己一架飞的距离是 1 - 5/12 = 7/12 > 1/2 太长 所以这情形也至少要3+2+1=六架 综合以上 结论是五架是不可能的 而六架的做法已经给出 # -- 打字打了好久... 证明是边打边想的 所以有错请指教 @@ -- 'Oh, Harry, dont't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done one thing to make absolutely sure that every single person in this school will read your interview, it was banning it!' ---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513 --

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