※ 引述《yjd (origin of love)》之铭言： : 2. 现在你面对着一面湖 手上有两个容器 : 其容积分别为π(3.14159...) 及 e(2.71828...)公升 : 我现在很机车的想要一公升的水在其中一个容器里 : 你要怎麽倒水才能得之呢? : 条件松一点 容许有1%的体积误差 : 试着想想吧! :) 估计一下 π可以近似为355/113 __ ____ e = 2.7182818284...近似为 2.718 = 299/110 (不近似为 2.71828 是因为太难算了) 又我们能找出 299*19 - 355*16 = 1 也就是 299/110的110*19=2090倍 和355/113的113*16=1808倍 差1 实际计算是 2090e - 1808π = 1.20950 20%...差太多了 换一种方式 将π和e表示成连分数 取渐近分数来逼近 (见 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E5%88%86%E6%95%B0 ) π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] 得到渐近分数为 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, ...] 得到渐近分数为 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, ... 其中观察到 22/7的7*4=28倍为88 和 87/32的32倍为87 差1 因此计算 28π - 32e = 0.97958 差2.1% 有改进了 接下来...取哪个连分数似乎都不好计算 尤其因为π的连分数在很前面一项出现了292 让後续的分数的分子/分母都很大 然後如果计算出来的倍数又很大的话 渐进分数的误差会扩大 就会出现上面20%的惨剧 因此转而求助程式 -- 用程式跑的结果 5e-4π = 1.02504 2.5% 9π-10e = 1.09152 9.1% 15π-17e = 0.91310 8.7% 20e-17π = 0.95856 4.2% 28π-32e = 0.97958 2.1% 42e-36π = 1.07050 7% 41π-47e = 1.04605 4.6% 57e-49π = 1.00402 0.4% -- 第一个符合要求的 60π-69e = 0.93411 6.6% 72e-62π = 0.93755 6.3% 73π-84e = 1.00059 0.059% -- π/e的系数700以内最好的 再下去要到 814e-704π = 1.00018 0.018% -- π/e系数5600以内最好的结果 下一个是 5634π-6511e = 1.0000252 0.0025% -- π/e系数27000以内最好的结果 再下去...实作大概就有麻烦了 XD -- 那麽就拿73π-84e来实作: 首先 有一个步骤可以让水增加π-e 称它动作(*): 将剩余的水倒到e桶里 把π桶填满 用π桶的水倒满e桶 把e桶倒掉 因为π-e大约是0.42 几次之後e桶会快满出来 在下一次次时就多做一次"用π桶的水倒满e桶 再把e桶倒掉"的动作即可 称(*)加上上面的那步叫(#) 所以 总共只要做73次的(*)或(#)即可 因为一次的(*)或(#)恰包含一次把π桶填满 即表示+π 因此 方法是这样的: 重覆以下步骤73次: a. 把π桶的水倒进e桶 b. 用π桶舀满水 c. 用π桶的水把e桶填满 d. 把e桶倒光 //到这里是(*) e. 如果π桶里剩的水比e桶容量多 重覆c.d.一次 //到这里是(#) 这样最後π桶里就会剩下1.00059公升的水 -- 其实要实作57e-49π也是可以 这样上面的方法的π/e两个桶子的角色就要对换 换成e桶舀水 π桶倒水 也就是: 重覆以下步骤57次: a. 把e桶的水倒进π桶 b. 用e桶舀满水 c. 用e桶的水把π桶填满 d. 如果π桶满了就把它倒掉 这样最後e桶里就会剩下1.00402公升的水 -- 'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.' 'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled. 'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said Harry. 'I've been trying to tell you that for years.' -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.30.84