有一个实系数多项式 P(x) ， deg P(x)= 2n (n是正整数) 满足P(x)的值恒大於零。 试证明总可以找到某对 实系数多项式 Q(x)、R(x)， 使得 P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 这是大前年某大杜鹃花节某系拿来作有奖徵答考高中生的题目。 使用的技巧全部是数学的，但解起来真有点Puzzle的味道。 解开也有类似数独解谜完了的一份快感。 我自己想了快四天，然後忽然就了了。在此炫耀一下，爽啦(ed)。 期待各位对本题的秒杀、肢解、碾碎、鲜血淋漓碎骨乱飞脑浆四溢.......PUZSAW!! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 参考解答(开灯): 遇到分解式，先有什麽想法呢？ 二项式定理......无穷级数，淘汰。 那泰勒展开式......一样无穷级数，淘汰。 那我令 Q(x) = P(x)*siny R(x) = P(x)*cosy 好了 谜音: 废柴！那还是无穷级数。 接下来想的和企鹅大类似，开始设a1 a2 a3 a4 开始配方。於是进入长达三天的 无限鬼打墙 然後某论坛的某h大指出了重点(虽然没提出具体解法) － 从题目的条件可以看出 偶次多项式领导系数为正，然後k次微分...(略)...没有实根!!!!!! 好吧。跟解谜语差不多，当你知道关键在无实根大概就解出来了。 意思是: P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2，何不这样「分解」 = [Q(x)+iR(x)]*[Q(x)-iR(x)] ˍ ˍ ˍ P(x)恒大於零，表示方程式P(x)=0 必有N 对共轭虚根。设他们为 z1z1 z2z2 z3z3... ˍ ˍ 重根完全没有关系，於是P(x)=(x-z1)(x-z1)(x-z2)(x-z2)... 於是Q(x)+iR(x) = 以上每对括号任选一，乘开後实部虚部分离，就是两个现成的实系数 多项式。怎麽知道这样的Q(x)、R(x)满足要求呢？只要看没选到的另一半是这一半的共轭 而Q(x)-iR(x) 和 Q(x)+iR(x) 亦互为共轭就知道QED了~~~^^ 又从这个构造解法我们可以知道若没有重根，满足条件的Q(x) R(x)最多有 2^N种 蛮直截了当又可爱的解法不是吗。 = = = = = = = = = = = = = = =以上解答的分隔线= = = = = = = = = = = = = = = = = 谢谢EIORU大与企鹅大的解答。 ※ 编辑: jurian0101 来自: 218.164.22.129 (01/31 20:36)