作者stimim (qqaa)
看板puzzle
标题Re: [推理] 写不完的作业
时间Sat Oct 16 18:52:03 2010
A 就先不理他了，因为他第一题没写，因此一定写不完。
: 同学B也是在前一小时开始写
: 他从1~10里面随机挑一题出来写
: 30分钟过後
: 他从1~20里面随机挑一提出来写（写过的就不会被挑到了）
: 15分钟过後
: 他从1~30里面再随机挑剩下的某题目出来写
: 以此类推
因此，第一题"没"被写到的机率是：
p(1) = (9/10) * (18/19) * ... * (9k / (9k + 1)) * ...
每一项都小於一，有无限多项，故 p(1) = 0
同样的道理，可以证明对任意一题 n ，没被写到的机率 p(n) = 0
或许我们可以说因为每一题没被写到的机率都是 0 ，而一题要吗有写，要吗没写，
因此每一题都有写。
不过，机率 p(n) = 0 ，跟 "第 n 题一定会被写到"
是不是同一件事可能要更进一步的讨论。
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有一个比较不伤脑的题目也可以想一想：
现有一个布袋，里面有一个 1号球，
首先，我们拿出 1号球，放入 2号球，
再来，拿出 2号球，放入 3号、4号球，
拿出 3号球，放入 5号、6号、7号球，
如此不断的进行下去，请问，当做了无限次操作後，布袋中有几颗球？
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◆ From: 61.228.151.148
※ 编辑: stimim 来自: 61.228.151.148 (10/16 18:52)
1F：→ inferno6562:没有球 10/16 19:01
2F：推 weselyong:什麽！？真的没有球吗？ 10/16 21:13
3F：→ weselyong:B差不多就是这样了～有个Axiom可以强烈支持你这说法 10/16 21:13
4F：推 Ryow:请问如果没有将球编号 还会得到布袋最後没有球的结论吗? 10/16 21:30
5F：推 babufong:没编号就是最後会重复拿出一颗然後放入无限多颗的动作？ 10/16 21:58
6F：→ pikacha:没有或无穷多~操作是只要把球拿出来就行,还是要再放回去? 10/16 22:10
7F：推 arthurduh1:虽然以结果来说是对的 但是下面这个statement有问题 10/16 22:36
8F：→ arthurduh1:"每一项都小於一，有无限多项，故 p(1) = 0" 10/16 22:37
9F：→ arthurduh1:这句话不一定对 需要数学证明 10/16 22:37
9 * 18 * 27 * ... * (9k)
令 p(1,k) = ----------------------------------------
(9 + 1) * (18 + 1) * ... * (9k + 1)
分母 = (9 + 1) * (18 + 1) * ... * (9k + 1) ≧
k 9*18*...*(9k)
9*18*...*(9k) + Σ----------------- ≧
m=1 9m
k 1
[9*18*...*(9k)] * (1 + Σ-------- ) ≧ [9*18*...*(9k)] * (1 + Ln(k))
m=1 9m
∴ p(1,k ) ≦ 1 / (1 + Ln(k))
∴ p(1) = p(1,∞) ≦ 1/ (1 + Ln(∞)) = 0 , 且 p(1) ≧0
∴ p(1) = 0
10F：推 arthurduh1:至於布袋中有几颗球？ 应该是发散到无穷大才对 10/16 22:39
※ 编辑: stimim 来自: 61.228.151.148 (10/16 23:05)
11F：推 pphhxx:可是从"B每次挑的题目都会越来越多"的方向来想要怎麽想呀 10/16 22:58
12F：→ stimim:这两题神奇的地方就在於，用数量上来看，应该要发散，但是 10/16 23:09
13F：→ stimim:不论你考虑哪一个特定的球，你都会发现他不在袋子中 10/16 23:10
14F：→ weselyong:我有点好奇的是..操作「後」 10/16 23:11
15F：→ arthurduh1:数量不应考虑留下的东西有没有一样吧？ 10/16 23:12
16F：→ arthurduh1:那个"後"真的怪怪的... 10/16 23:12
17F：→ weselyong:第二阶段不就是放球吗...？（正在搜寻脑海中的某记忆） 10/16 23:13
我可能没说清楚，SORRY
第N次的操作如下：
取出第 N 号球，放入第 (N*(N-1)/2) + 1 ~ (N*(N+1)/2) + 1 号球 (共N颗球)
第一次操作、第二次、第三次、……第N次
当N到无穷大时，袋子中的球数是？？？
袋子中有哪些球？？？
※ 编辑: stimim 来自: 61.228.151.148 (10/16 23:18)
18F：推 weselyong:若设n次操作後剩下x颗球 x=Σk (k=1~n) n趋近无穷大时 10/16 23:18
19F：→ weselyong:级数也无穷大... 10/16 23:18
20F：→ weselyong:不过考虑哪一个特定的球，你都会发现他不在袋子中 10/16 23:18
21F：→ weselyong:听起来也是很有道理... 10/16 23:20
22F：推 arthurduh1:应该说有无穷多球 但任何一颗都不在里面 10/16 23:23
23F：→ arthurduh1:考虑一下简单一点的情况 若一次只丢一颗 放一颗？ 10/16 23:23
24F：→ arthurduh1:球数最後是1或0 ??? 10/16 23:23
25F：→ weselyong:那再考虑倒过来的情况XD（交换律） 放一颗，拿一颗 10/16 23:25
26F：→ weselyong:(刚开始没有球) 10/16 23:25
27F：→ weselyong:我想到了 这有点 2*∞ > ∞ 的感觉 10/16 23:26
28F：→ stimim:啊，我记错题目了，我的题目和W大的应该是一样的才对 10/16 23:27
29F：→ weselyong:啊勒XD 10/16 23:27
30F：→ stimim:不过讨论一下这个好像也不错就是了 10/16 23:27
※ 编辑: stimim 来自: 61.228.151.148 (10/16 23:28)