※ 引述《babufong (哔哔)》之铭言： : 317. Firecracker : http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=317 : 烟火在地表上 100m 的高空被炸成许多小碎片 : 这些小碎片们飞向每个方向 : 然而这些小碎片们的初速度是 20m/s : 我们假设这些小碎片们没有空气阻力 : 然後它们的重力加速度是 g = 9.81m/(s^2) : 试求这些小碎片们从炸开到落地走的路径与地表围成的区域体积 : 答案请精准到小数下第四位（单位为m^3） : → utomaya:跟我最初的构想一样 这个区域离爆炸中心点水平方向x公尺处 01/02 21:47 : → utomaya:垂直高度都是一样的 所以可切成薄圆柱 总和其体积 01/02 21:49 : → utomaya:就跟微积分的做法一样 只是我不知道如何列式? 只好硬干了 01/02 21:50 以下有详解 防雷 先不管数字, 令加速度是 g, 初速度是 v, 爆炸点高 h 我们先来求离爆炸点水平 x 处的最高点在哪 对一个往水平斜上θ角射出的碎片来说 它的水平速度是 v cosθ 因此飞到那里时间是 t = x/(v cosθ) 而其高度为爆炸点起算 vt sinθ+(g/2)t^2 = x tanθ-(gx^2/2v^2)(sec^2 θ) = x tanθ-(gx^2/2v^2)(1+tan^2 θ) 容易看出它是 tanθ 的二次式 故最高点在 tanθ = -x/(-gx^2/2v^2) = v^2/gx 代入得最高点高度为爆炸点起算 v^2/2g - gx^2/2v^2 再来套 utomaya 的推文 我们要积的式子是 [v^2/2g - gx^2/2v^2 + h]2πx dx 范围显然下界是 0 上界则是让 [] 中为 0 的值 简单可算得为 x = (v/g)√(2gh+v^2) 式子看起来很可怕但其实只是个单纯的 x 的三次多项式而已 不定积分结果为 2π(x^2(v^2/4g + h/2) - gx^4/8v^2) 代入 x = 0 得 0 代入 x^2 = v^2(2gh+v^2)/g^2 化简後得 πv^2(2gh+v^2)^2/4g^3 这就是我们的最终答案了 最後只要代入 h = 100, v = 20, g = 9.81 乘开即可 约为一百八十几万 页末防雷。 -- 1989/02/22 优希堂悟 1990/02/22 冬川こころ 1993/07/05 小町つぐみ 1994/05/21 高江 ミュウ 1995/04 欢迎来到 星野游々 1997/03/24 守野いづみ 1997/03/24 伊野瀬チサト 1998/06/18 守野くるみ 1999/10/19 打越钢太郎的 楠田ゆに 2000/02/15 樋口遥 2002/ 12/17 八神ココ 2011/01/11 HAL18於朱仓岳坠机 2011/04/02 ∞与∫的世界 茜崎空启动 2012/05/21 第貮日蚀计画预定 2017/05/01~07 LeMU崩坏事故 2019/04/01~07 某大学合宿 --

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