作者DreamYeh (天使)
看板puzzle
标题Re: [闲聊] 高中数学问题-因数与倍数（二）
时间Fri Apr 22 09:33:10 2011
※ 引述《rehearttw (易怀)》之铭言：
: PS：我最早听到这题，是在高二时。
: 听说建中某老师在上排列组合的课，一开头就问这一题。
: 我当时还没想出来，过了一年半上成功岭时灵机一动解决了。
: 只要用到国中的因数与倍数的概念即可解。
: 各位有空可以想想详解吧！
最直觉的国中证明:
1.任何数字M 因数有a1,a2,a3... (a1<a2<a3...)
依据游戏规则在a1站、a2坐、a3又站...
最後站立即有"奇数个因数"的数字
2.再证明完全平方数才有奇数个因数即可
这还是很显然
设一个数字M有因数a，则(M/a)也是因数，(如2是8的因数，则4也是)
代表因数大多情况下都是成双成对出现，即因数个数为偶数
只有一种情况会使因数单独出现，即n存在一个因数a使得a=M/a (导致最後因数个数为奇数)
这种情况即代表M是完全平方数，证毕
高中证明:
第二步中，对M做质因数分解，得 M=p1^a1 * p2^a2 * .... pn^an
因数个数为 (1+a1)(1+a2)..(1+an)
因数个数为奇数 <==> 1+a1 , 1+a2, ....1+an 全为奇数
<==> a1, .....an全为偶数
设 a1=2*b1, a2=2*b2......an=2*bn
则 M = (p1^b1 * p2^b2 .... pn^bn )^2 即为完全平方数
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— 请多指教喔!!
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