※ 引述《jurian0101 (Hysterisis)》之铭言： : 出自某高智商博客，猜想版上大约有定期在逛那儿的强者已经看过了，请多包涵 : 问题是：怎麽用圆铺满三维空间，而不重复且不遗漏 : (这里的铺满相当於建构一系列圆，使得空间里的每个点恰位於某个圆上) : Hint : 原解非常抽像，幸好回覆原博文的版众补了一个类似引理的东西我总算才看懂 : 这个引理／提示本身又是一个谜题，解决後原题大概就OK了 当然要挑战从头想起 : 也是可以的。 以下有雷 : <欲看请开灯> 已知球面或平面是无法用圆无遗漏无重复的填满的，然而只要 : 在其上挖掉两个点，剩下的部分必可以被填满。请验证挖掉的不必是球面的 : 对跖点，而可以是任意两点。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^ : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 我是从这个提示出发才想通.... 总之先证明这个引理 我们要证的是球面挖掉任意两点後能用一系列圆填满 看图: http://w.csie.org/~b94102/math/Math41a.png 这张图是将这个球面沿着过这两点的大圆切开的图 虚线是连接左右两段弧同比例的地方 图中只有画出几条示意 对每条虚线有一个平面过这条虚线 且和这张图的切面垂直 这个平面和球就交於一个圆 这些圆就是我们要的 显然整个球面上的点除了挖掉的这两点外其他都必然在这些圆其中之一上 因此引理得证 回到原题 我们在空间中画出无限多个圆 这些圆的圆心在 x 轴上 其 x 座标具有型式 偶数+1/2 半径为 1/2 所在平面为 xy 平面 这样一来 任意一个以原点为圆心 半径非 0 的球都和这无限多个圆全部恰交於两点 如下图 图中实线是我们先做出的圆 虚线则代表以原点为圆心 半径非 0 的球 同样只画一些为代表 http://w.csie.org/~b94102/math/Math41b.png 对半径非整数的球来说 这球恰和我们做的其中一个圆相交 交於两点 对半径为整数的球来说 这球恰和我们做的其中两个圆相切 共两个切点 这样一来 所有这些球除去和我们做的圆的两个交点 套引理能够以一系列圆填满 剩余的部份正好是我们原先所画的无限多个圆 因此原题得证 -- 补一个名词解释当做页末防雷 对跖点(antipodes; antipodal points) 意思是球上处於相对的两点 例如以地球来说 北极和南极互为对跖点 东经121度北纬25度和西经59度南纬25度互为对跖点 (这两点前者在桃园外海 後者在阿根廷境内(巧合地)叫福尔摩沙市的地方) 经度0度北纬51度和经度180度南纬51度互为对跖点等等 (这两点前者是格林威治 後者则接近纽西兰一个叫 Antipodes Islands 的岛 这岛正得名於它在格林威治的对跖点附近) -- 'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.' 'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled. 'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said Harry. 'I've been trying to tell you that for years.' -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308 --

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