※ 引述《ddtddt (得)》之铭言： : 一共有n个人上飞机，飞机上n个位置，每个人都有自己对应的位置。 : 但今天第一个人很迷糊，所以会随机做任何一个位置。 : 後面的人如果自己的位置被别人坐了，则会随机去坐剩下的位置， : 如果自己的位置没有被坐，则会做自己的位置。 : 请问，第n个人坐到自己位置的机率为? : -- : 好像有看过但是/不到，与大家分享。 : -- : 推 yllan:1/2 09/19 19:22 : → ddtddt:give a simple proof 09/19 19:35 : 推 aa124816:一楼在n=1的情况就直接错了= = 09/19 19:36 : 推 AlexCYW:第一个人一定是1/n 09/19 21:37 : → yllan:第一个人坐到k (1<k<n) 就等於把k 变成新的第一个人去坐n-1 09/19 21:53 : 推 yllan:然後就数学归纳法 09/19 21:56 : → yllan:n=1 时是 1 这终端状况没考虑到 orz 总之 n>1 时是 1/2 09/19 21:57 : 推 aa124816:但是第一个人有1/n的机会 会坐到第n个人的位置呐 09/19 22:23 : 推 AlexCYW:不太对..第二个人好像是(n-1)/n 09/19 22:46 : 推 arthurduh1:递回式是 P(n) = [1+(n-1)P(n-1)]/n 09/19 22:53 : → arthurduh1:解开会发现是 (n-1)/n 没错 09/19 22:53 : 推 yllan:等一下，第 n 个人意思应该是最後一个人吧？题目说 n 个座位 09/19 23:09 : 推 yllan:aa124816: 但也有 1/n 机会坐到第一个位置，这两个就扯平啦 09/19 23:14 : 推 yllan:ㄟ，好像真的错了！XD 09/19 23:29 : → yllan:ㄟ，应该没错啊…我来算算第 k 位置的看看 09/19 23:34 以下是一个不用数归只用到简单对应的做法 (几乎没有计算!) 考虑一个 n 号坐在 1 号上的坐法 X 设这坐法中坐在 n 号位置上的人是 k < n 号 和另一个除了 k 号坐 1 号 n 号坐 n 号外其他都和坐法 X 一样的坐法 Y 显然这两个坐法唯一的差别就是 k 号选到 1 号或 n 号位 由题设 k 号决定坐这两个位置的哪一个的机率都是 1/(n-k+1) (k > 1 时因为轮到他时没位置坐 剩下的是 k+1~n 号及 1 号共 n-k+1 个位置 k = 1 时则正好也是 1/n) 然後其他坐法因为选项一样 选择的机率自然一样 因此坐法 X 和坐法 Y 的机率相等 然後我们可以把所有坐法都照这样配对 (因为 n 号只可能坐在 1 号或 n 号位置 所以每一种坐法一定只属於其中一种 然後调换 1 号位和 n 号位的人就是和它一组的坐法了) 其中 n 号坐在 n 号位的坐法正好每一组中都有一个 於是答案就是 1/2 了 -- 推广到其他人的话应该是这样: 每个 k 号坐不到 k 号位的坐法和 n-k+1 个 k 号坐到 k 号位的坐法对应 分歧点在这个坐在 k 号位上的人选到哪个位置 坐到 k 号上一种 坐到 (k+1)~n 号或 1 号的坐法有 n-k+1 种 於是机率便是 (n-k+1)/(n-k+2) 了 -- ◢ ˊ_▂▃▄▂_ˋ. ◣　　　　　 　　　　▅▅　▅▅　ι●╮　　 █▄▄▄▄▄ ▍./◤_▂▃▄▂_◥ \'▊ 　　ＨＡＲＵＨＩ █████　＜■┘ 　 ▄▄▄▄▄▄▄ ▎⊿ ◤◤◥█◥◥█Δ 　　ＩＳＭ　 　　By-gamejye　￠|\ 　　▌▌▌▌▌▄▌▌ ▏ζ(▏●‵◥′●▊)Ψ ▏　　 　　　 　　　　█　　　 ⊿Δ 　　▄▄▄ ▄▄▄▄ █/|▊ 〃 、 〃▋ |\ ▎　　　　　 　 　ハルヒ主义　　　 　　█▄▄▄█▄▄ ◥◥|◣ ‵′ ◢/'◢◢S.O.S 世界を大いに盛り上げるための凉宫ハルヒの団　　　 --

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