作者squirrel1085 (小鼠松弈)
看板puzzle
标题[问题] 大富翁机率问题
时间Sun Apr 15 23:27:22 2012
感觉这个题目应该不会太难,也应该有人有想过
不过我没有找到正确答案与相关资讯,所以po上来请教众强者
用程式解应该有办法,但是这方面我不太行@@"
Q:从起点出发,每回合丢一正常六面骰子前进,直到走超过100格为止
请问此路程,恰好停留而非路过第100格的机率为何?
题目也可以想成那种传统的,只有一圈没有其他路的纸上大富翁
若一圈格数x=100格,我今天走到还是空地的A地买下它
下一次经过这区域时,能恰好走到A地盖房子而非路过它的机率P(x)
我自己有稍微算过当x=6、7、8、9、10分别的机率,好像都不太一样
但直觉告诉我当x很大的时候P(x)应该要收敛(?)
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◆ From: 140.114.12.82
1F：推 Favonia:Markov chain 是你的好朋友 04/15 23:48
2F：→ squirrel1085:谢谢楼上 马上来试试看 04/16 00:30
3F：推 LPH66:话说这问题让我想到 Project Euler #84... 04/16 00:34
4F：推 Zn1:别想太多 就六分之一 04/16 00:58
5F：推 LPH66:我这里计算的结果很有趣... 04/16 01:11
6F：→ LPH66:设定终点在第 100 ~ 105 格的话 (第一次走进去这之中就停) 04/16 01:12
7F：→ LPH66:停在这六格的机率约是 6:5:4:3:2:1 04/16 01:12
8F：→ LPH66:也就是恰停在第 100 格的机率是 6/21 = 2/7... 04/16 01:12
9F：→ squirrel1085:我猜测机率介於0.25~0.4 但没有想到会这麽漂亮 04/16 01:17
11F：→ jennya:跟LPH66的答案一样 (2/7=0.28XXXX) 04/16 01:21
12F：→ jennya:因为基本上後面的公式都一样 04/16 01:22
13F：→ squirrel1085:1~6可以表示为7^(x-1)/6^x是确定的 04/16 01:36
14F：→ squirrel1085:"太难算了XD"=(7^6-6^6)/6^7=70993/279936 04/16 01:44
15F：→ squirrel1085:感谢j大,我都没想到用excel就好了!! 04/16 01:45
16F：推 LPH66:其实实际数字并不漂亮XD 不过的确是会收敛到 2/7 04/16 01:46
17F：→ squirrel1085:嗯本来就是要求收敛的值 这个结果出乎意料的简洁 04/16 01:47
答案是漂亮的2/7也就是1/3.5,也就是1/每次期望前进格数
是个直观而好记忆的结果
详细可参考Feller-Erdos-Pollard renewal Theorem
※ 编辑: squirrel1085 来自: 140.114.12.82 (04/16 03:21)