※ 引述《ddtddt (得)》之铭言： : 2. : 根号(1+2*根号(1+3*根号(1+4根号(.... =?? : ________________________________ : / _______________________ : / / ______________ : \/ 1 + 2 \/ 1 + 3 \/ 1 + 4 ........ 以下伤眼兼有雷注意 = = 理论上这样的"实质无穷"要从"潜在无穷"来逼近，也就是写成<A_n> n->Inf 来看 那A1=1, A2=Sqr(1 + 2), A3=Sqr(1 + 2 Sqr(1 + 3)) ... 递增，必定 那上界呢...根本看不出来 这式子里的"看不出的无限"实在是麻烦了 好，我先偷换成 f = Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + ... 如何 因为 f^2 - 1 = x f , f = x/2 + Sqr(x^2 + 4)/ 2, 反过来补证明 <f_n> 递增, check。 有上界, check 例如取 f < x+1, 当x很大。 所以f(x) 对所有实数x都收敛到一个约等於x的数 ..还是无法直接用在原式，因为无穷层根号里有个无穷 虽然直觉上这个factor 应该抵不过 ^(- 2^n) ，或是说开n次根号这个剧烈减小的作用啦 * * 那我转而求另一个值求灵感，假装原式里的所有1都是0。 y = Sqr( 2 Sqr( 3 Sqr( 4 Sqr( 5 Sqr( ... 事实上应该只有前面几个1被拿掉有比较大的影响，後面反正 [第一] 1 远小於加号後的项 [第二] 1 位在n重根号里面 所以这个值应该比原式 －－如果收敛的话－－ 小一点点，是不错的估计值 Log y = Sum [Log[n] 2^(1-n), {n, 2, Infinity} ] l.h.s 算式丢到Mathematica算得到 = -2 (PolyLog^(1,0))[0,1/2] 表示成特殊函数了 N[%] = 1.01567 Exp[%] = 2.67121 喔喔，所以可以想像原式应该比2.67大一点点而已 * * 好吧，还是没有很好的方法可以证明其收敛性，只是我没时间了所以直接跳 这很欠揍问题的理论上的答案 ___ 3 = V 9 __________ = V 1 + 2 x 4 ___________ = V 1 + 2 V 16 __________________ = V 1 + 2 V 1 + 3 x 5 ___________________ = V 1 + 2 V 1 + 3 V 25 __________________________ = V 1 + 2 V 1 + 3 V 1 + 4 x 6 = ...我是无限延伸的删节号... = 原式 3 的确比 2.76 大一点点，不管你怎想，这答案反正我是信了。 谢谢LPH66指点。 --

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