※ 引述《cj6u40 (阿克 \⊙▽⊙/)》之铭言： : ══════════════ 　牛刀小试五问 02　 ═══════════════ : 　第二问　 : 　　　数学老师选定一个球面，并在其上找出整数坐标点。以下是他列出的部分例子： : 　Ａ(3,6,14)、Ｂ(11,2,6)、Ｃ(4,13,4)。後来，他惊讶地发现，这个球面上的正整数 : 　坐标共超过一百个！该球面中心坐标为何？其上共有几个正整数坐标点？ 下面是我解题的一些想法,还有笔记,不过有些地方没想通,希望有高手能解答 一开始只想到类似三角形找外接圆圆心,是做三边的中垂线 所以就先找出三边的中垂面的方程式,来看看有没有解? 大概就是找中点,找平面向量,代入中点得方程式 AB中点 :(A+B)/2 = (7,4,10) 向量　 : A-B = (-8,4,8) AB中垂面:-2x+y+2z=10 BC中点 :(B+C)/2 = (15/2,15/2,5) 向量 :B-C = (7,-11,2) BC中垂面:7x-11y+2z=-20 CA中点 :(C+A)/2 = (7/2,19/2,9) 向量 :(C-A) = (1,7,-10) CA中垂面:x+7y-10z = -20 三个中垂面会交出一条直线,圆心会在这条直线上 再来就有点卡住了 就先试着用这三个方程式来消掉一些变数 得到以下三个方程式 -3x+4y=10 -5y+6z=10 -5x+8z=30 这三个方程式代表直线在xy,yz,zx平面上的投影 然後我就卡住了,突然发现,有个简单解(10,10,10)可以满足三个方程式 所以找到一个圆心(10,10,10) 代入求与三点ABC的距离 (7,4,-4) = 49+16+16=81 (1,8,4) = 1+64+16=81 (6,3,6) = 36+36+9=81 所以得到半径为9 然後找到四组可能的整数解 (0,0,9) 3种排列*2(正负) = 6个 (4,4,7) 3种排列*2(正负)^3 = 24个 (3,6,6) 3种排列*2(正负)^3 = 24个 (1,4,8) 6种排列*2(正负)^3 = 48个 6+24+24+48 = 102 个点 --

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