※ 引述《cj6u40 (阿克 \⊙▽⊙/)》之铭言： : 　第二问　 : 　　　数学老师选定一个球面，并在其上找出整数坐标点。以下是他列出的部分例子： : 　Ａ(3,6,14)、Ｂ(11,2,6)、Ｃ(4,13,4)。後来，他惊讶地发现，这个球面上的正整数 : 　坐标共超过一百个！该球面中心坐标为何？其上共有几个正整数坐标点？ 看来又是一题被煮烂的题目了 XD (希望不要又是因为少放了一样食材(读音:少一个条件)才煮烂的 (爆)) 来把我煮出来的结果贴一下吧 以下有雷 经由一些代数运算其实大家都能找出来 圆心必然在直线 x=8t-6 y=6t-2 z=5t 上 相对应的半径是 √(125t^2 - 380t + 341) 原来的题目所想要的答案应该是对应 t = 2 的解 圆心在 (10,10,10) 半径为 9 (看这数字多漂亮啊(?)) 那由於 9^2 = 6^2 + 6^2 + 3^2 = 7^2 + 4^2 + 4^2 = 8^2 + 4^2 + 1^2 所以从 (10,10,10) 开始 (+-6,+-6,+-3) (及其他共三种排列) (+-7,+-4,+-4) (及其他共三种排列) (+-8,+-4,+-1) (及其他共六种排列) 一共就能找到 (3+3+6)*8 = 96 个正整数点 再加上三轴方向的顶点 (1,10,10) (19,10,10) 等六点一共 102 点 符合条件 之前我将 t 代进一堆整数发现那个半径值除了 t = 2 之外都没有整数 所以原本以为应该要加上「半径为整数」的条件 不然会有其他一堆解 像是 t = 10 的情形 圆心在 (74,58,50) 半径为 √9041 但是 9041 = 63^2 + 56^2 + 44^2 = 66^2 + 62^2 + 29^2 = 67^2 + 66^2 + 14^2 + ... 一共可以写成 21 种不同的三平方和 其中只有 93^2 + 14^2 + 14^2 有重覆数字 显然的这个球面上会有超过 100 个正整数点 (连加减都不用考虑 只要考虑每个三平方和的六种排列就超过了) 所以我才推那一句好像少了这个条件 不过後来我反向思考 我要找的只要这半径值是整数就好 t 可以是有理数 所以倒过来去解 t 的二次方程找有理数 幸运(?)的是让这半径值是整数的有理数 t 也不多 搜到半径 1000 也才找到四个 t 值 t = 2 (半径 9), t = 22/5 = 4.4 (半径 33), t = 326/25 = 13.04 (半径 129) 以及最後这一个验证了有超过 100 个正整数点的 t = 1346/25 = 53.84 圆心在 (424.72, 321.04, 269.2) 半径 585 这个球面在第一卦限里的整数点个数有 108 个! (当然包含题目当中的这三个) 108 个点的清单如下: {{3, 6, 14}, {4, 13, 4}, {4, 148, 637}, {4, 583, 580}, {7, 724, 196}, {11, 2, 6}, {13, 736, 292}, {16, 652, 13}, {17, 654, 14}, {18, 171, 662}, {38, 681, 18}, {41, 762, 246}, {66, 762, 131}, {122, 819, 218}, {129, 98, 722}, {129, 258, 770}, {137, 414, 770}, {145, 190, 766}, {150, 710, 609}, {160, 220, 781}, {171, 762, 558}, {174, 678, 659}, {174, 843, 186}, {196, 832, 439}, {210, 30, 729}, {242, 449, 810}, {242, 794, 561}, {242, 834, 483}, {292, 589, 772}, {294, 878, 147}, {349, 868, 76}, {350, 35, 774}, {361, 442, 838}, {378, 651, 750}, {390, 905, 266}, {398, 66, 795}, {398, 171, 834}, {398, 881, 102}, {438, 881, 438}, {458, 6, 761}, {458, 801, 602}, {493, 76, 796}, {506, 267, 846}, {508, 391, 844}, {508, 871, 88}, {514, 658, 739}, {521, 2, 750}, {521, 882, 134}, {522, 174, 827}, {522, 329, 846}, {523, 226, 838}, {544, 868, 439}, {555, 890, 230}, {563, 146, 810}, {570, 275, 834}, {577, 874, 154}, {579, 518, 798}, {585, 870, 146}, {587, 654, 722}, {614, 203, 810}, {614, 638, 723}, {614, 758, 609}, {616, 112, 781}, {616, 772, 589}, {654, 843, 138}, {657, 414, 798}, {662, 594, 729}, {679, 328, 796}, {702, 99, 734}, {705, 810, 426}, {713, 786, 62}, {726, 617, 674}, {770, 65, 666}, {770, 710, 537}, {781, 772, 160}, {782, 414, 723}, {796, 772, 301}, {808, 16, 589}, {808, 76, 637}, {818, 681, 510}, {823, 616, 580}, {823, 736, 376}, {832, 724, 151}, {843, 6, 530}, {866, 2, 483}, {871, 472, 616}, {874, 73, 550}, {874, 658, 433}, {875, 650, 446}, {878, 66, 537}, {878, 681, 354}, {899, 38, 462}, {902, 99, 14}, {942, 99, 110}, {942, 594, 281}, {947, 554, 146}, {962, 489, 110}, {966, 177, 438}, {966, 497, 134}, {969, 518, 354}, {976, 157, 376}, {976, 247, 88}, {977, 134, 222}, {986, 482, 305}, {990, 350, 417}, {990, 395, 138}, {990, 450, 347}, {1002, 414, 251}} 话说回来, 其实很容易发现 t 只有在某个范围里这整颗球才会全部在第一卦限 t = 2 的解也是其中之一 也就是说 只要我们加上「这整个球面全部在第一卦限」这个条件 那 t = 2 的答案就是唯一解了 不过这麽一来超过 100 个正整数点这个条件就没用了呢.... (因为会满足整个球都在第一卦限的 t 范围其实很小 约为 1.68059 ≦ t ≦ 2.34721 这当中值得注意的大概只有整数的 t = 2 吧) 如果要保留超过 100 个正整数点这个条件的话 除了半径整数外可能还要限制圆心在整数.... (当然我依然不确定这样限制之後 t = 2 还是唯一解 XD") 特别鸣谢扮演微波炉(?)帮助我煮题目的 Mathematica 的页末防雷页 -- いああオレたちには见えてるモノがあるbデ きっと谁にも夺われないモノがあるはずさ け 开口一番一虚一実跳梁跋扈形影相吊yュL羊头狗肉东奔西走国士无双南柯之梦 歪も ぶ 　意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある んの く 依依恋恋空前絶後疾风怒涛有无相生 ラH急転直下物情骚然愚者一得相思相爱 だが ろ 无意味じゃない ラ6あの意図が 恋た で 有为転変死生有命苍天已死黄天当立 !!6五里雾中解散宣言千错万综则天去私 のり --

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