作者buffalobill (水牛比尔)
看板puzzle
标题Re: [问题] 将正整数着色
时间Mon Oct 19 15:39:22 2015
※ 引述《ddtddt (得)》之铭言：
: 将所有正整数任意着色 红 黄 蓝
: 证明
: 存在 a b c 是正整数
: 使得 a+b a+c b+c a+b+c 都是同一个颜色。
这题超难
我想了好久
只能先证出2色
假设有存在一个着色法使得a,b,c不存在，则此着色法具有以下事实：
P1. 2与3不同色
若2与3同色，则(a,b,c)=(1,1,1)为解
P2. 4与6不同色
若4与6同色，则(a,b,c)=(2,2,2)为解
综合P1与P2可得知下列两种情形之一必为真
P3a.[2,6]同为一色[3,4]为另一色
P3b.[2,4]同为一色[3,6]同为一色
假设P3a为真，考虑5的颜色
5必不与[2,6]同色，因为(a,b,c)=(1,1,4)可构成[2,5,6]
5必不与[3,4]同色，因为(a,b,c)=(1,2,2)可构成[3,4,5]
故P3a为假
再来假设P3b为真，考虑5的颜色
5必不与[2,4]同色，因为(a,b,c)=(1,1,3)可构成[2,4,5]
故5必与[3,6]同色
P3. [2,4]同色 [3,5,6]为另一色
7的情形的话一样有两种
P4a. [2,4]同色，[3,5,6,7]为另一色
P4b. [2,4,7]同色，[3,5,6]为另一色
但是(a,b,c)=(1,2,4)可构成[3,5,6,7]故p4a为假
P4. [2,4,7]同色，[3,5,6]为另一色
最後考虑到8
P5a. [2,4,7,8]同色，[3,5,6]为另一色
P5b. [2,4,7]同色，[3,5,6,8]为另一色
[2,4,7,8]中的[2,7,8]可为(a,b,c)=(1,1,6)构成，故P5a为伪
[2,5,6,8]中的[5,6,8]可为(a,b,c)=(2,3,3)构成，故P5b为伪
所以
P5. 不论8与[2,4,7]或[3,5,6]同色，都存在a,b,c满足条件。
三色的话这种证明法太搞肛了
可能要写程式来算了XD
应该要有很优雅的证明才对说
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1F：推 kirimaru73: 二色证好後 可以推出若三色方法存在 每色皆有无限多个 10/19 18:16
2F：→ buffalobill: 写好一个程式来计算范围内有几种着色法了 10/19 21:53
3F：→ buffalobill: 果然N大於某数之後着色法的数量就变成0了 10/19 21:53
4F：→ buffalobill: 不过这种证明方法算是邪魔歪道吧 10/19 21:54
5F：→ kirimaru73: 历史上最顶尖的那几个数学家应该有办法手写完成 10/19 22:13
6F：→ kirimaru73: 这也是证明方法啊 一堆数学难题还不是由电脑辅助完成 10/19 22:13
7F：→ kirimaru73: 只是光看题目确实会以为有很简单的秒杀方式 10/19 22:14
8F：→ buffalobill: 感觉像本要画辅助线的几何题结果用电脑三角函数硬算 10/19 22:48