作者arthurduh1 (arthurduh1)
看板puzzle
标题Re: [问题] 逃脱狮子的看守
时间Wed Mar 23 07:42:20 2016
1F：推 walkwall: 在中心半径的1/4小圆边界上绕到狮子反向 然後往岸边冲 03/22 21:24
2F：→ walkwall: 圈以内角速度可超过狮子 冲刺时0.75*4=3 < 3.14<PI 03/22 21:27
3F：→ ddtddt: 走墙棒棒。 第二问，如何在最短时间内逃出。 03/22 21:38
4F：推 walkwall: 摆线? 03/22 21:41
5F：→ ddtddt: @走墙大，我没有正解。 摆线如何证是最速解@@? 03/22 21:58
6F：推 walkwall: 呃...只是直觉 也有可能是摆线的变形 03/22 22:03
7F：→ walkwall: 当然也想过搞笑版最速解 : 搭直升机走 或者对狮子吹箭 03/22 22:04
8F：推 walkwall: 认真想过後 离开圆心与过临界点後都应该是直线最快 03/22 23:47
离开圆心时应该不是直线
以下叙述严格说来仍有一堆漏洞，需要更进一步说明
我都有把它标注起来。
首先要说明一下这类题目的解其实都是极限行为
[不重要的漏洞]
因为两对局方各自都要对对手的行为做反应，产生类似鸡生蛋、蛋生鸡的问题
(比猎人的心滴拳听还要更厉害的狮子和人 :P)
假设湖半径 1 (单位自取)
狮子初始位置为 (-1,0)
人的初始位置为(0,0)
我们可以做些假设
[漏洞]
(1) 狮子永远以最高速绕着湖走，且是沿逆时针方向
(2) 人也是恒处於最高速
(3) 人到岸边时刚好与狮子碰头
假设碰头的点为 P
那为何无法由圆心直接走直线到达 P 呢？
原因是狮子的存在
使得人只能在由狮子算起逆时针 180度 的范围内移动 [by (1)]
令狮子在时间 t 时位於 ( -x(t), -y(y) )
注意线段 L_t: (0,0)─( x(t), (y(t) )
人的走法可能一开始会贴着这个动态的线段走
但由於 (3)
最後必定要离开此线段
(4) 且离开後必定不会再次碰到 L_t
[漏洞]
否则我们可以把走法用 一直接触 L_t 的路径取代
得到更有效率的方法
更进一步
[漏洞]
(5) 在离开 L_t 後，人必定直直朝 P 点，走直线前进
否则我们同样可以把走法用直线取代
由 (4) 与 (5) 就可以列式求解了
基本上走法就是先走 等角速度且等速度的螺线
接着直直朝 P 点前进
P.S.
这种螺线的极座标公式在适当的单位下，会满足
dr/dt = √(1- r^2 cos(2t) )
不过我用 Mathematica 解不出 explicit 解
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※ 编辑: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/23/2016 07:54:45
9F：→ wxtab019: 只会逆时针 就一开始位置往右一点点 他就要绕一圈了阿 03/23 09:17
不懂往右是什麽意思
不过顺逆时针的问题 我是做了不失一般性的假设 (镜像对称)
※ 编辑: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/23/2016 10:33:47
10F：→ arthurduh1: I see. 因为我的图座标化跟原图不同 所以应该有 03/23 17:21
11F：→ arthurduh1: 回答到你的问题了 03/23 17:21
12F：推 walkwall: 恩恩 03/23 19:29