※ 引述《DreamYeh (天使)》之铭言： : 因应2017年到来～最近在狂想跟2017有关的数学问题 : 因此又想出以下两题 : a,b皆为正整数....求a,b.....请证明都是唯一解 : 1.a^2+b^2 = 2017 : (Hint: if prime is 4n+1 ...) : 2.a^3+b^2 = 2017 : 第二题我觉得比较困难，因此能不靠程式解出者，发2017元红包 ※ a^2 + b^2 = 2017 ≡ 1 (mod 3) 由 a^2 ≡ 0 (mod 3) when a ≡ 0 (mod 3) ≡ 1 (mod 3) when a ≡ 1,2 (mod 3) 故可假设 a = 3x+1, b = 3y 或 a = 3x+2, b = 3y ● 第一个情况下，展开整理为 9x^2+6x+9y^2 = 2016 同除 9: x^2 + (2x/3) + y^2 = 224 得知 x 必须为 3 的倍数 x x^2 2x/3 y^2应为 ------------------------------ 0 0 0 224 3 9 2 213 6 36 4 184 9 81 6 137 12 144 8 72 15 225爆炸 皆不合 ● 第二个情况下，展开整理为 9x^2+12x+3+9y^2 = 2016 同除 9: x^2 + (4x+1)/3 + y^2 = 224 得知 x 必须为 3 的倍数多 2 x x^2 (4x+1)/3 y^2应为 ------------------------------- 2 4 3 217 5 25 7 192 8 64 11 149 11 121 15 88 14 196 19 9 (BINGO!) 17 爆炸 代回得 44^2 + 9^2 = 2017 PS. 用 mod 8 可再得到 a 必须为奇数或除 4 余 2 从而 x 也是，不过剩下状况也已经不算多了 ※ a^3 + b^2 = 2017 ≡ 1 (mod 8) 由 a^3 ≡ 0 (mod 8) when a ≡ 0 (mod 2) ≡ x (mod 8) when a ≡ 1 (mod 2) b^2 ≡ 0 (mod 8) when b ≡ 0 (mod 4) ≡ 4 (mod 8) when b ≡ 2 (mod 4) ≡ 1 (mod 8) when b ≡ 1 (mod 2) 故可假设 a = 8x+1, b = 4y 或 a = 8x+5, b = 4y+2 或 a = 2x, b = 2y+1 ● 前两个的情况下，状况少直接列举了 a^3 y^2应为 --------------------------- 1 2016 125 1892 729 1288 13^3爆炸 皆不合 ● 第三个情况下，展开整理为 8x^3 + 4y^2 + 4y = 2016 同除 8: x^3 + (y(y+1))/2 = 252 x x^3 (y(y+1))/2应为 -------------------------------- 1 1 251 2 8 244 3 27 225 4 64 188 5 125 127 6 216 36 7 爆炸 (y(y+1))/2 = 1+2+3+..+y 之列表: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253 其实觉得第一题计算比较难 QQ 但第二题最後不晓得有没有比较好的看法 --

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