※ 引述《likii (Likii)》之铭言： : 各位好，第一次在这版发文～^^ : 是这样的，最近在准备插大考试，有微积分这个科目 : 最头痛的就是公式很难背 : 我指的公式是一些基本的微分积分公式 : 如 : 1 -1 : ∫-------- dx = tan x +C : 1+x^2　　　　　　　　　　　　　这种 : 不知道为什麽总是记不住（因为都长得很像吧=_=） : 当初在学微分的时候也会推导，可是就是记不住 : 总而言之就是有理解，可是临时又写不出来 : 总不能在写考卷的时候 : 又马上在旁边画图还是什麽的重新推导吧 : （以前算三角函数都用画图记，都觉得有点慢了，更何况是重新推公式...） : 时间会不够的……Orz : 请问各位有没有什麽方法可以记忆这些公式呢ˊˋ : 感谢不尽～～ 为什麽要记？ y = arctanx tany = x 2 sec y * y' = 1 y' = 1/(secy)^2 = 1/[1 + (tany)^2] = 1/(1+x^2) -1 ∴∫y'dx = ∫dx/(1+x^2) = y = tan x -1 无聊时可以自己试试看∫tan x dx = ? 技巧有部分一样，又有点不一样，反正这没有相当难就是了^^" 同理可得对arcsinx、arccosx、...的积分答案 我觉得比较需要点技巧的只有∫secxdx而已，这跟找积分因子是差不多感觉。 --- 如果你学过复变，那麽你也可以用另一种思考来想这题 不过复变的想法..在这里不能解决不定积分，必须是暇积分才行， --- 如果积分范围从0到∞，那麽从复变的角度就是有个复数z 他从(0,0)沿着实数轴积分到+∞，接着再绕个R=∞的半圆回来到-∞ 此时再绕回(0,0) 重点有两个 1.此积分路径包含到你的问题 2.此积分路径算的出答案 这是为什麽有这路径的原因，能算出答案的路径其实并没有相当多种。 参考：http://0rz.tw/ALASO 此时f(z) = 1/(1+z^2)，找它在刚刚积分路径所围的区域里的residue 所以在积分范围内的奇点就是+i，留数值就是1/2i ------ -1 1/(1+z^2) = 1/(z+i)(z-i) = [1/(z+i)] * (z-i) b1 = 1/(z+i) = 此f(z)以z=i为展开中心做Laurent series展开的-1次幂项系数 b1(z=i代入)　= f(z)在z=i的留数值 ------ n ∮f(z)dz = 2πi*Σ Res(zk) = 2πi * (1/2i) = π k=z 而在R=∞的半圆弧上，θ从0到π，这个积分可以被证明得知为零。 证明方法不会太难，你把要积分的东西用极座标表示，接着挂上lim(R->∞) 就可以发现是零了。 那因为它是偶函数，所以-∞ -> 0 -> +∞ = 2 * 0 -> +∞ +∞ +∞ 所以 ∮f(z)dz = π = ∫dx/(1+x^2) = 2*∫dx/(1+x^2) 　　　　 　　 -∞　　　　　　　 0 +∞ 所以　∫dx/(1+x^2) = π/2 0 ----------------------------------- 复变有本书还不错，书名好像就是complex variable，作者是churchill 这本浅显易懂，我之前暑假花2个礼拜就读完7章了，没做後面练习题，但是 前面的example我都有做，也是每一个字慢慢看，还不错。 ----------------------------------- 观念通，什麽都通 观念不通....很多都不通了 有空时就自己推导这些东西，多想那个"逻辑" 搭公车可以想、走路可以想、上厕所也可以想..想通之後就会发现微积分很神奇 如果有学过复变，那更会发现这真是有够美的 这些东西不是说一定要每天花1hr坐在书桌前才能弄懂 只要你肯利用只有脑袋能思考、却没事情做的时间，那就够了～ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.249.233 ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (10/21 23:54) ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (10/21 23:56) 嗯？复变是我自己读的呀@@" To: digimaster 谢谢你的建议，我之後一定会找时间来读读那本的A_A ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (10/22 01:21) 我补充一下好了，也许会有人看见&发现我没讲清楚 并不是所有函数照着那种路径绕就行了，什麽意思？ 原题是求0->∞，但是我用复变的方法来看，就只能从-∞->∞ 跟我要的积分范围不同，因此我用了偶函数的特性。 所以如果他是奇函数，那就会相消=0，根本就不必搞复变^^" -- 　　　　　　　　　　　　　　∞ 如果他不奇不偶呢？How about ∫dx/(1+x^3) ? 　　　　　　　　　　　　　　0 此时我就要将z变为极座标型式来讲，让它变成"可以将某路径 跟我要的问题扯上关系" let z = r*exp^(iθ) z^3 = r^3 * exp^(3iθ) 当你从(0,0)积分到(∞,0)时(路径C1)，θ皆为零 ∞ 所以此时∫dz/(1+z^3) = ∫dr/(1+r^3) 　　　　 C1 0 接着一样是绕r=∞的圆弧，不过...这次不是绕半圆弧了 我们目的要让"後来绕回原点的那段路径积分，与C1路径积分出来的答案有关" 假设绕到θ=α时，从该点走回(0,0)，此时θ恒为α，只是r从∞变为0 0 所以此时∫dz/(1+z^3) = ∫exp(iα)dr/[1+r^3*exp(3iα)] 　　　　　　　　　　　 ∞ 重点来了，怎样扯关系呢？ 嗯，只要exp(3iα)=1.....那麽分母就变为(1+r^3)了 所以，若要让exp(3iα)=1，那α就会一定是2π/3，有人会问说为什麽没补2nπ？ 因为这跟branch有关....多值函数是无法做微分与积分的，这又是另外一个故事了.. 我们所做的复变微积分，通常都会给定在某个分支上，也就是有明确的定义域， 才会去做微分与积分的动作。 总之，此时此刻...就扯上关系了，然後就变成是 ∞ n ∮f(z)dz = (1-exp(i*2π/3))∫dx/(1+x^3) = 2πi* ΣRes(Zk) 0 k=1 剩下的就自己算哩 ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (10/24 00:23)