※ 引述《jaykinki (...)》之铭言： : 之前有问过不过没人理我Orz : 可能是我写的很乱XD : 这次又麻烦大家了@@ : 85年 想要制作一个容量为1/3立方公寸的直圆锥形容器 则底半径应为多少 : 才使 所用的材料最少?(即全部表面积最小?) 设直圆锥底半径 r ,高 h (无底面积) 1 1 已知 V = ---π(r^2)h = --- 表面积 = A(r , h) = πr(r^2 + h^2)^(1/2) 3 3 1 h = ---------- 代入上式得 π*(r^2) 1 1 A(r) = πr(r^2 + --------------)^(---) (π^2)*(r^4) 2 (π^2)*(r^6) + 1 1 = πr(------------------) = (---)*((π^2)*(r^6) + 1) (π^2)*(r^4) r 6*(r^5) 1 (r)*(------------------------------) - ((π^2)*(r^6) + 1)^(---) 2*(((π^2)*(r^6) + 1)^(1/2)) 2 => A'(r) = ----------------------------------------------------------------- r^2 (3)*(π^2)*(r^6) - (π^2)*(r^6) - 1 = ------------------------------------ (r^2)*(((π^2)*(r^6) + 1)^(1/2)) (2)*(π^2)*(r^6) -1 = ---------------------------------- (r^2)*(((π^2)*(r^6) + 1)^(1/2)) 1 1 令 A'(r) = 0 => (2)*(π^2)*(r^6) - 1 = 0 => r = (------------)^(---) (2)*(π^2) 6 且 A'(r-) < 0 , A'(r+) > 0 1 1 所以 r = (------------)^(---) 表面积 A(r) 有最小值 即材料最省 (2)*(π^2) 6 --

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