作者style520 (XXYY)
看板trans_math
标题Re: [极限]一个求极限问题
时间Mon Jul 18 18:14:04 2005
※ 引述《josephw (rhythm)》之铭言：
: ※ 引述《JimCroce (我要下五子棋 N )》之铭言：
: : 1 1
: : lim [---------------- - ----------}
: : x->0 ln(x+√(1+x^2)) ln(1+x)
: : 请问这要怎样做??
: : 抱歉他上面没标明是哪一年的考古!
: ln(x+√(1+x^2)=(sinh^-1 x) = x+ x^3/6 +o(x) x->0
^^应该是- ^^^^ 应该是o(x^3)
: 1 1 1 x
: => --------------- = --------------- = --- + --- +o(x) x->0
: ln(x+√(1+x^2)) x- x^3/6 +0(x) x 6
: ln(1+x)= x- x^2/2 +0(x) x->0
^^^^ 应该是o(x^2)
: 1 1 1 x
: => ------- = --- + --- + --- + o(x) x->0
: ln(1+x) x 2 4
: 1 1
: lim [---------------- - ----------}
: x->0 ln(x+√(1+x^2)) ln(1+x)
: 1 x 1 1 x
: lim [ ( --- + --- +o(x) ) - (--- + --- + --- + o(x) ]
: = x->0 x 6 x 2 4
: -1
: = ---
: 2
: ---
: 如果有错请指教 ^^
答案 -1/2 是正确的，但观念稍稍有错
等价的观念只能用在乘和除，不能加减
利如 f(x) ~ u(x) , g(x) ~ v(x) as x->0
f(x) u(x)
lim ---- = lim ----
x->0 g(x) x->0 v(x)
ln(1+x) ~ x as x->0
ln(x+√(1+x^2)) ~ x as x->0
1 1
-------------- - ----------
ln(x+√(1+x^2)) ln(1+x)
ln(1+x) - ln(x+√(1+x^2))
= -----------------------------
ln(1+x) ln(x+√(1+x^2))
ln(1+x) - ln(x+√(1+x^2)) x x
= --------------------------- * -------------- * -------------
x^2 ln(1+x) ln(x+√(1+x^2))
(右边两项极限都是1,可用LH算得)
相当於分母相乘用等价的x取代，分子保留不动
所以只要算最左边这项即可
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.250.72
※ 编辑: style520 来自: 140.112.250.72 (07/18 18:23)
1F：推 josephw:SORRY 写太快了 219.91.84.129 07/18
2F：→ josephw:谢谢指教^^ 219.91.84.129 07/18