※ 引述《hhhtsai (莫忘初衷)》之铭言： : 底下是小弟之前问的问题,但是有些没有得到答案... : 而转学考试在即...希望版上高手能不吝啬为小弟解答<(_ _)> : 1. Let f(x,y) = cos (x^2 + y^2) : Find quadratic approximation of f near the origin : Ans: 1 + x + y : [注]有版友认为此参考解答不合理,我也这麽认为,这只是我手边的参考解答 : 希望版友若有认为合理的解答或是计算过程,希望可以po出来参考 不然就把 cos x = 1 - x^2/2! + .... x 的地方 用 x^2+y^2取代 f(x,y) = cos (x^2 + y^2) = 1 - (x^2 + y^2)^2/2! + .... 不知这样可否? : 2. The power series Σ An(x-2)^n and Σ Bn(x-3)^n both : converge at x=6 ,find the largest interval which both series converge : Ans: 0 < x <= 6 : [注]本题有版友认为条件所给不足,原题确实给定的条件仅止於此 我觉得题目有问题，有两个可能 1. 题目抄错 不是求largest interval，而是 smallest interval Σ An(x-2)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半径至少是 4 收歛区间至少包含 (-2,6] = A Σ Bn(x-3)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半径至少是 3 收歛区间至少包含 (0,6] = B 因此二级数同时收歛的 "最小" 区间 = A 交集 B = (0,6] 2. the largest interval 要看 An, Bn而定吧 下面有两个例子 假如 An=Bn= (1/n)^n ，收歛区间=无穷大 ,当然在 x=6 也收歛 因此二级数同时收歛的最大区间 = 所有实数 (1/4)^n 若 An = --------- => 收歛区间 = [-2,6] n^2 (1/3)^n Bn = ----------- => 收歛区间 = [0,6] n^2 因此二级数同时收歛的最大区间 = [0,6] : 3. 1 1 : ∫ ────── dx : 0 (x-1)^(a-1) : 收敛时a之值? : Ans: a < 1 : [注]有版友认为本题答案应该 a < 2 ,但其实很明显的当a = 1/2 时,本题积分函数 : 无意义,希望若有版友有想出来能给小弟一些建议 : 最後感谢看完这篇文章的版友 : 如果对题目解答有所建议希望能不吝赐教 此题目出得不好.. 先不论收歛，能使积分有意意的 a 很有限 0 < x < 1 -1 < x-1 < 0 x-1 恒为负, (x-1)^指数 要有意义 ，指数 不能是无理数，不能是 p/q p,q为互质整数且q为偶数之有理数如 1/2,3/4 ... 假设上面的条件成立 令 b=a-1 1- 1 I=∫ ────── dx 0 (x-1)^b t 若 b=1 , I= lim ln|x-1|| = ∞ (发散) t->1- o (x-1)^(-b+1) t 若 b>1 , I = lim --------------| = +- ∞ (视b之值而定) (发散) t->1- -b+1 0 (x-1)^(-b+1) t (-1)^(-b+1) 若 b<1 , I = lim --------------| = - -------- (收敛) t->1- -b+1 0 -b+1 b<1 => a-1<1 => a<2 故 a<2 时收歛 ，但a要满足上面所说的条件 如 a=1/2 , 1/4 , π/2 ..... 时积分无意义! (此处不讨论虚数) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.250.72 ※ 编辑: style520 来自: 140.112.250.72 (07/21 19:18)