※ 引述《Dirichlet ( )》之铭言： : π/2 n+1 2 : ∫ 2 (sinx) (cosx) dx = ? (n 是自然数包含 0 ) : 0 Wallis 公式 π/2 n π/2 n I_n = ∫ sin x dx = ∫ cos x 0 0 n - 1 n - 3 1 π ------- ------- ... --- --- , n 是偶数 n n - 2 2 2 则 I_n = n - 1 n - 3 2 ------- ------- ... --- . 1 , n 是奇数 n n - 2 3 π/2 n+1 2 所以 ∫ 2 (sinx) (cosx) dx 0 π/2 n+1 2 = ∫ 2 (sinx) (1 - sin x) dx 0 π/2 n+1 π/2 n+3 = 2(∫ (sinx) dx - ∫ (sinx) dx) ----------(＊) 0 0 (1) 当 n 为奇数时 n+1 和 n+3 皆为偶数 n n - 2 1 π n + 2 n 1 π 所以 (＊) => 2(------- ------- ... --- --- - ------- ------- ... --- ---) n + 1 n - 1 2 2 n + 3 n + 1 2 2 n + 2 n 1 π = 2(1 - -------) (-------) ... (---)(---) n + 3 n + 1 2 2 2 n 1 π = (-------)(-------) ... (---)(---) n + 3 n + 1 2 2 π n 1 = (-------)(-------) ... (---) n + 3 n + 1 2 (2) 当 n 为偶数时 n+1 和 n+3 皆为奇数 n n - 2 2 n + 2 n 2 所以 (＊) => 2(------- ------- ... --- . 1 - ------- ------- ... --- . 1) n + 1 n - 1 3 n + 3 n + 1 3 n + 2 n 2 = 2(1 - -------)(-------) ... (---) n + 3 n + 1 3 1 n 4 = (-------)(-------) ... (---) n + 3 n + 1 3 由(1)(2) π/2 n+1 2 ∫ 2 (sinx) (cosx) dx 0 π n 1 (-------)(-------) ... (---) n 为奇数 n + 3 n + 1 2 = 1 n 4 (-------)(-------) ... (---) n 为偶数 n + 3 n + 1 3 --

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