※ 引述《GayerDior (蜡笔小新<(￣.￣)/)》之铭言： : E: [政治大学] : Let h:[0，1] --> R be a continuous function， : + : h(0)=0 and lim δ->0 (h(s+δ)-h(s))/δ ≦ c : for all 0≦c<1 ， where c is a constant.Then : h(s)≦cs for all 0≦s≦1。(15%) : 这题我想超久，就是不知道它在问什麽东西。 : 如果有人会写请帮我写出详细过程， : 谢谢 Sketch the proof : 对任意 ε>0 与任意在 [0,1) 内的 s, 存在 I(s) = (s,s+δ_s) 使得对任意 I(s) 内 的点 y 有 f(y) - f(s) ≦ (c+ε)(y-s). 另外再取区间 I(1) = (1-δ,1+δ) 使得对任意两点 x,y 在 I(1) 内且 h 在 x,y 上 有定义有 |h(x)-h(y)| < ε. 调整 I(0) = (-δ_0,δ_0) 再适当的调整 δ_s 的长度让 {I(s) : 0≦s≦1} 是一组 [0,1] 的开覆盖, 因为 [0,1] 是 compact => 它有有限的子覆盖. 假设此子覆盖为 I(0), I(s_1), ..., I(s_n), I(1). 对任意 (0,1] 中的点 y => y 必然落在 I(0), I(s_1), ..., I(s_n) 与 I(1) 的其中某个, 不妨设 y=1 (其余类似), 我们有 h(y) - h(s_n+δ_s_n) < ε h(s_n+δ_s_n) - h(1-δ) < ε (这个有均匀连续性保证) h(1-δ) - h(s_n) < (c+ε)(1-δ-s_n) h(s_n) - h(s_n-1) < (c+ε)(s_n - s_n-1) . . . h(s_2) - h(s_1) < (c+ε)(s_2 - s_1) h(s_1) - h(0) < (c+ε)(s_1 - 0) 全部加起来 => h(y) < 3ε + (c+ε)(1-δ) < 4ε + c(1-δ) 假设先固定 ε, 则不论 c 为正为负, 因为可以调整 δ 故 h(y) ≦ 4ε + cy, 因为 ε 是任意的故 h(y) ≦ cy. 写的有些乱, 有些地方我还要想一想. -- 朋友，风起了，蝉鸣了，你听见了吗。 --

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