作者SMer (愁落暗尘)
看板trans_math
标题Re: [积分&极限]後医系94年考古题
时间Fri Jul 28 00:20:00 2006
※ 引述《johnnyjaiu (芭乐)》之铭言：
: 23.If F(x)=∫0到x^2 sin(xt)/t dt, find F'(x) where x≠0
: 这题我一开始是用积分的基本定义2, 但不知道 sin(xt) 的x要怎麽代换。
: 正确答案是 3sin(x^3)/x
固定一个 x≠0, 令 xt = u, 由变数代换有下面等式.
x^2 x^3
F(x) = ∫ sin(xt)/t dt = ∫ sin(u)/u du
0 0
因为我们固定任意的非零 x 都有上式, 故由微积分基本定理知
F'(x) = (3x^2)[sin(x^3)/x^3] = 3sin(x^3)/x for all x≠0
当 x>0
x^2 x^2
|[F(x)-F(0)]/x| = |∫ sin(xt)/xt dt| ≦ ∫ 1 dt = x^2
0 0
故 lim [F(x)-F(0)]/x = 0, 因为 [F(x)-F(0)]/x 是偶函数, 故 F'(0) = 0.
x->0+
--
朋友，风起了，蝉鸣了，你听见了吗。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 61.223.52.122
1F：→ johnnyjaiu:也就是说GayerDior的（xt）并没有代换 218.167.73.20 07/28 08:22
2F：→ johnnyjaiu:令u=xt...果然脑筋要转一下想的到ORZ 218.167.73.20 07/28 08:23
3F：→ johnnyjaiu:呃…请问你是晚上睡不觉较来帮忙作的吗 218.167.73.20 07/28 08:23
4F：→ johnnyjaiu:太辛苦了= = 要早点休息~~ 谢谢你喔^ ^ 218.167.73.20 07/28 08:24