作者axis0801 (只学过初微的家伙)
看板trans_math
标题Re: [微分] 请教一下证明...
时间Mon Dec 4 12:21:30 2006
※ 引述《halaper (..........)》之铭言：
: Rolle's theorem
: Let g be differentiable on the open intervel(a,b) and continuous on the closed
: interval [a,b].If g(a)=g(b),then there is at least one number c in (a,b) for
: which g'(c)=0
: 这题我不会证
: 书上也没有
: 可以帮忙解答一下吗
刚刚的回答若看懂了,再看以下洛尔定理的证明, 我用中文证明你比较看的懂..
(1)
若 g(x)为常数函数, x in [a,b] 则 g'(x)=0, x in (a,b)
=> g'(c)=0, c in (a,b) 得证
(2)
若 g(x)不为常数函数, 则必存在一 t in (a,b) 使得 g(t)>0 或 g(t)<0
1). 当 g(t)>0, 又已知 g 在 [a,b] 连续, 必有一 c 使 in [a,b] 使 g(c) 为最大值
则 g(c)≧g(t)＞0, 且 g(a)=g(b), 可确定 c≠a, c≠b => 即 c 属於 (a,b)
因此 lim(h→0)[g(c+h)-g(c)]≦0 (因 g(c) 为最大)
=> lim(h→0+)[g(c+h)-g(c)]／h ≦0 且 lim(h→0-)[g(c+h)-g(c)]／h ≧0
又 g 在 (a,b) 可微 => g'(c) 的导数极限要存在, 所以 g'(c)＝0
2). 同理可证, 当 g(t)<0, 必存在一 c 使得 g'(c)=0
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