作者Dirichlet (微风轻吹)
看板trans_math
标题Re: [考古] 95政大应数1
时间Tue Jan 30 02:14:13 2007
※ 引述《spss520 (剩下一个月啦)》之铭言：
: Let f[0,1]→R be continuous function and f(0)=0
: 1
: show lim ∫ f(x^n)dx=0
: n→∞ 0
: 谢谢大家
给定ε>0，令 M 为 |f| 在 [0,1] 上的最大值，取 p = min{1/2,ε/2M}，则
1
∫ |f(x^n)| dx ≦ Mp ≦ ε/2 对所有自然数 n 成立
1-p
因为 f(0)=0，由 f 的连续性知存在 δ>0 使得当 0≦x<δ 时有 |f(x)| < ε/2，
选取一 N 够大让 (1-p)^N < δ，於是 |f(x^N)| < ε/2 对所有 0≦x≦1-p 成立。
1-p
因而 ∫ |f(x^N)| dx < (ε/2)(1-p) < ε/2
0
1
故 ∫ |f(x^n)| dx < ε 当 n≧N
0
1
因为 ε 是任意的所以 lim ∫ |f(x^n)| dx = 0，而这会导致原命题成立。
n->oo 0
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◆ From: 140.112.217.78
※ 编辑: Dirichlet 来自: 140.112.217.78 (01/30 02:15)