作者Frobenius (i^(-i)= e^(π/2))
看板trans_math
标题Re: [考古] 奇怪的积分!
时间Tue Feb 6 08:54:10 2007
※ 引述《GayerDior ( 後庭内已自酥麻 ~_~)》之铭言：
: [94成大造船]
: 1+i∞ e^(zt)
: ∫ --------- dz
: 1-i∞ z^2+1
将 1 换成 γ (因为 γ 是任意恒正常数，在此γ = 1)
将 z 换成 s (因为 z 是哑变元，所以可以换成 s )
整个除以 2πi，就可以看成是"逆拉普拉斯转换"的形式
-1 1 γ+i∞ 1
Ｌ { F(s) } = ---- ∫ ------- e^(st) ds
2πi γ-i∞ s^2+1
-1
原式成为 = 2πi Ｌ { F(z) }
= 2πi { Res[ F(z) e^(zt) , i ] + Res[ F(z) e^(zt) , -i ] }
e^(zt) e^(zt)
= 2πi { Res[ --------- , i ] + Res[ --------- , -i ] }
z^2+1 z^2+1
(z-i)e^(zt) (z+i)e^(zt)
= 2πi { lim [ ----------- ] + lim [ ----------- ] }
z→i (z+i)(z-i) z→-i (z+i)(z-i)
e^(zt) e^(zt)
= 2πi { lim [ ------ ] + lim [ ------ ] }
z→i (z+i) z→-i (z-i)
e^(it) e^(-it) e^(it) e^(-it)
= 2πi { ------ + ------- } = 2πi { ------ - ------- }
2i -2i 2i 2i
e^(it) - e^(-it)
= 2πi { ---------------- } = 2πi sin(t)
2i
1
在这里 F(z) = -------，f(t) = sin(t)
z^2+1
-1
所以 Ｌ { F(z) } = f(t) = sin(t)
原式 = 2πi sin(t)
得出一样的结果
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◆ From: 140.122.225.109
1F：→ GayerDior:完全看不懂.........谢谢你的热心!!! 61.229.144.97 02/06 15:24
2F：→ Frobenius:应该是还没学过留数定理吧^^140.122.225.109 02/06 20:09
※ 编辑: Frobenius 来自: 140.122.225.109 (02/06 23:42)