※ 引述《chrisjon (布丁狗)》之铭言： : X = t/(1+t) Y = ㏑(1+t) ,t属於[0,2]间之弧长 = ? : dx/dt = 1/(1+t)^2 dy/dt = 1/(1+t) : ∫√{ 1/(1+t)^4 + 1/(1+t)^2 } dt, t = 0 to 2 : = ∫√[(1+t)^2+1] / (1+t)^2 dt , t = 0 to 2 : 我令1+t = tanw , dt = (secw)^2 dw : => : ∫[secw / (tanw)^2] * (secw)^2 dw , w = arctan1 to arctan3 : 感觉变得很复杂… : 接下来不知道怎麽做了^^" 2 √((1+t)^2 + 1) 到 ∫ ----------------- dt 这里 0 (1+t)^2 先令 1+t = u 会比较好算 t = 0 u = 1 => dt = du t = 2 u = 3 2 √((1+t)^2 + 1) ∫ ----------------- dt 0 (1+t)^2 3 √(u^2 + 1) = ∫ ------------- du 1 u^2 √(u^2 + 1) 先计算 ∫------------- du u^2 令 u = tanΘ , 则 du = (secΘ)^2 dΘ √(u^2 + 1) ∫------------- du u^2 (secΘ)((secΘ)^2) = ∫-------------------- dΘ (tanΘ)^2 (secΘ) = ∫--------- d(tanΘ) (tanΘ)^2 -1 -1 = (-----)(secΘ) - ∫(-----) d(secΘ) tanΘ tanΘ cosΘ 1 1 = (-1)(-----)(-----) + ∫(-----)(secΘ)(tanΘ) dΘ sinΘ cosΘ tanΘ -1 = (-----) + ∫secΘ dΘ sinΘ -1 = (-----) + ln|secΘ + tanΘ| + c sinΘ (-1)(√(1 + u^2)) = ------------------- + ln|√(1 + u^2) + u| + c u 3 √(1 + u^2) ∫ ------------- du 1 u^2 (-1)(√(1 + u^2)) |3 = ------------------- + ln|√(1 + u^2) + u| | u |1 (-1)(√10) (-1)(√2) = (---------- + ln(√10 + 3)) - (--------- + ln(√2 + 1)) 3 1 (-1)(√10) = (----------) + ln(3 + √10) + √2 - ln(1 + √2) 3 √10 = √2 - ------ + ln(3 + √10) - ln(1 + √2) 3 √10 因此所求弧长为 √2 - ------ + ln(3 + √10) - ln(1 + √2) 3 --

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