作者LuisSantos (^______^)
看板trans_math
标题Re: [微分] 几个问题请教
时间Thu May 3 11:42:42 2007
※ 引述《tiyico (宏)》之铭言：
: prove that :
: f'(x)≧0 on interval I <=> f(x) is increasing on I
: (<=)方向的我有点卡住 可以请教一下吗
: ------------------------------------------------
: x
: 利用 MVT 定理证明 ln(1+x) > -----
: 1+x
证明: 令 f(t) = ln(1+t)
for x > 0
f(t) = ln(1+t) 在 [0,x]连续 , 并且在 (0,x) 可微
所以由MVT得
f(x) - f(0)
存在c属於(0,x)使得 ------------- = f'(c)
x - 0
ln(1+x) - ln1 1
--------------- = -------
x - 0 1 + c
ln(1+x) 1
--------- = -------
x 1 + c
0 < c < x
1 < 1 + c < 1 + x
1 1
1 > ------- > -------
1 + c 1 + x
ln(1+x) 1 1
--------- = ------- > -------
x 1 + c 1 + x
x
因此 ln(1+x) > -------
1 + x
for x < 0
f(t) = ln(1+t) 在 (x,0) 连续 , 在 (x,0) 可微
由 MVT 得
f(x) - f(0)
存在c属於(x,0)使得 ------------- = f'(c)
x - 0
ln(1+x) 1
--------- = -------
x 1 + c
x < c < 0
1+x < 1+c < 1
1 1
----- > -----
1+x 1+c
ln(1+x) 1 x
--------- < ------- => ln(1+x) > -----
x 1 + x 1+x
: ------------------------------------------------
: f(x) = ln(1+x)
: 试求函数在原点x=0 所衍生的n次泰勒多项式
: 并判断f在原点所产生的泰勒及数其是否在收敛区间内收敛於f(x)
: (最後那句我看不大懂意思)
: 感激指教
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※ 编辑: LuisSantos 来自: 140.119.41.161 (05/03 12:02)
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