※ 引述《gooddoog (gooddoog)》之铭言： : http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/94/021.pdf : 请问一下各位版大 : 计算提最後一题 : 这一题要怎嚜算呀 : 想半天还是不会 : 谢谢解答 题目 设 D 为由柱面 x^2 + y^2 = 4 、 平面 x + z = 6 与 xy 平面所围成的立体。 → → → → 求向量场 F (x,y,z) = (x^2 + sin(z))(i) + (xy + cos(z))(j) + (e^y)(k) 流出 D 的通量 (flux) 。 解： 所求通量 → → = ∫∫(F ．n ) dS S → = ∫∫∫ divF dV D ( D = {(x,y,z)| x^2 + y^2 ≦ 4 , x + z ≦ 6 , z ≧ 0} ) δ δ δ = ∫∫∫ -----(x^2 + sin(z)) + -----(xy + cos(z)) + -----(e^y) dzdydx D δx δy δz = ∫∫∫ 2x + x + 0 dzdydx D = ∫∫∫ 3x dzdydx D 2π 2 6-(r)(cosΘ) = ∫ ∫ ∫ (3r)(cosΘ)(r) dzdrdΘ 0 0 0 (令 x = (r)(cosΘ) , y = (r)(sinΘ) , z = z) (则 0 ≦ z ≦ 6 - (r)(cosΘ) , 0 ≦ r ≦ 2 , 0 ≦ Θ ≦ 2π) 2π 2 |z = 6 - (r)(cosΘ) = ∫ ∫ (3r)(cosΘ)(r)(z) | drdΘ 0 0 |z = 0 2π 2 = ∫ ∫ (3r)(cosΘ)(r)(6- (r)(cosΘ)) drdΘ 0 0 2π 2 = ∫ ∫ (cosΘ)(3)(r^2)(6 - (r)(cosΘ)) drdΘ 0 0 2π 2 = ∫ ∫ (18)(r^2)(cosΘ) - (3)(r^3)((cosΘ)^2) drdΘ 0 0 2π 3 |r = 2 = ∫ (6)(r^3)(cosΘ) - (---)(r^4)((cosΘ)^2) | dΘ 0 4 |r = 0 2π = ∫ (48)(cosΘ) - (12)((cosΘ)^2) dΘ 0 2π 1 + cos2Θ = ∫ (48)(cosΘ) - (12)(------------) dΘ 0 2 2π = ∫ (48)(cosΘ) - (6)(1 + cos2Θ) dΘ 0 2π = ∫ (48)(cosΘ) - 6 - (6)(cos2Θ) dΘ 0 |2π = (48)(sinΘ) - 6Θ - (3)(sin2Θ) | = (-12)(π) |0 --

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