作者b94501010 (海鲜不新鲜)
看板trans_math
标题Re: [多变] 曲面( x-y )^2 - z^2 = 1 到原点之最小 …
时间Sat Jul 21 12:30:59 2007
※ 引述《damn422 (承佑)》之铭言：
: 问题：曲面( x-y )^2 - z^2 = 1 到原点之最小距离 ANS: √2/2
: 有想到用Lagrange multipliers
: 目标: minimize √(x^2 + y^2 + z^2)
: s.t. ( x-y )^2 - z^2 = 1
: 然後前式 - λ後式，算偏微分 = 0，，不过算不出来...
: 不知板上强者们有何高招？
用Lagrange Multiplier
Let f(x,y,z)=d^2=x^2+y^2+z^2
g(x,y,z)=(x-y)^2-z^2=1
▽f=λ▽g
=> 2x=2λ(x-y) ..................(1)
2y=-2λ(x-y) ..................(2)
2z=-2λz ..................(3)
(x-y)^2-z^2=1..................(4)
由(1),(2),(3),(4)式联立求解(x,y,z) :
由(3)=> z=0 or λ=-1
ifz=0: 求得两组解(1/2,-1/2,0),(-1/2,1/2,0)
ifλ=-1: 由(1)及(2)=> x=y=0
但由(4)=>z^2=-1
故无解
然後将(1/2,-1/2,0),(-1/2,1/2,0) 带入f(x,y,z)=d^2=x^2+y^2+z^2
求得d^2=1/2 故d=1/√2
(p.s. 因为d^2的偏微分较d简单,又Minimize d ≡ Minimize d^2,所以令
f(x,y,z)=d^2=x^2+y^2+z^2 )
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◆ From: 61.224.90.19
1F：推 damn422:简洁扼要 拜收了 219.70.21.17 07/21 14:02
2F：→ damn422:我没从(3)看出这样的关系 而一直卡在无解 219.70.21.17 07/21 14:03
3F：→ damn422:多问一个喔 ▽不是gradient吗?也能表偏微? 219.70.21.17 07/21 14:04
4F：→ b94501010:▽f(x,y,z)是梯度向量:<fx,fy,fz> 61.224.90.19 07/21 16:16