作者jenniferue (Jennifer)
看板trans_math
标题Re: [积分] 可用三角代换吗?
时间Sun Jul 29 10:29:34 2007
1
∫----------- dx
(x^2-1)^3
利用三角代换
(cosθ)^4
∫------------ dθ = ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ
(sinθ)^5
Let u = (cotθ)^3
dv = cotθcscθdθ
du = -3(cotθ)^2(cscθ)^2 dθ
v = -cscθ
∴ ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = - (cotθ)^3 x cscθ
- 3 ∫ (cotθ)^2 x (cscθ)^3 dθ
等式右边利用 (cotθ)^2 + 1 = (cscθ)^2 整理
∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = - (cotθ)^3 x cscθ
- 3 ∫ (cotθ)^4 x cscθ + (cotθ)^2 x cscθ dθ
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
画底线部分整理至左边
4 ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = - (cotθ)^3 x cscθ - 3∫ (cotθ)^2 x cscθ dθ
等式右边再利用 (cotθ)^2 + 1 = (cscθ)^2 整理一次
4 ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = - (cotθ)^3 x cscθ - 3 ∫(cscθ)^3 - cscθ dθ
( ∵ ∫cscθdθ = -ln | cotθ + cscθ | + C
- cotθcscθ - ln | cotθ + cscθ |
∫(cscθ)^3 dθ = ------------------------------------ + C )
2
右式可整理为
4 ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = - (cotθ)^3 x cscθ
3
+ --- (cotθcscθ + ln | cotθ + cscθ |)
2
- 3 ln | cotθ + cscθ |
把三角函数代换回来
- x 3x 3 x + 1
4 ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = ----------- + --------- - --- ln |-----------|
(x^2-1)^2 2(x^2-1) 2 √(x^2-1)
整理
x (3x^2-5) 3 x + 1
4 ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = -------------- - --- ln |-----------|
2(x^2-1)^2 2 √(x^2-1)
x (3x^2-5) 3 x + 1
∴ ∫(cotθ)^4 x cscθ dθ = ------------- - --- ln |-----------|
8(x^2-1)^2 8 √(x^2-1)
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希望有帮上忙^ ^
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