作者b94501010 (海鲜不新鲜)
看板trans_math
标题Re: [积分] 可用三角代换吗?
时间Sun Jul 29 16:26:47 2007
※ 引述《boboptt (boboptt)》之铭言：
: 请问这题该怎麽积
: 1
: ∫----------- dx
: (x^2 -1)^3
: 我用三角代换变成
: cosθ ^4
: ∫-------------- dθ 这样不会积...
: sinθ ^5
用 Partial Fraction
1 1
∫-------------- dx = ∫-------------------- dx
(x^2 -1)^3 [(x+1)^3][(x-1)^3]
1 A B C
又 -------------------- = ----- + --------- + ---------
[(x+1)^3][(x-1)^3] x+1 (x+1)^2 (x+1)^3
D E F
+ ----- + --------- + ---------
x-1 (x-1)^2 (x-1)^3
=> 1 = A[(x+1)^2][(x-1)^3] + B[(x+1)][(x-1)^3] + C[(x-1)^3]
+ D[(x+1)^3][(x-1)^2] + E[(x+1)^3][(x-1)] + F[(x+1)^3].........(i)
put x=-1 => C = -1/8, put x=1 => F = 1/8
而A,B,D,E可由(i)式比较系数得: A = -3/16, B = -3/16, D = 3/16, E = -3/16
1 1
故 ∫-------------- dx = ∫-------------------- dx =
(x^2 -1)^3 [(x+1)^3][(x-1)^3]
-3 1 -3 1 -1 1 3 1
∫( ----.----- + ----.--------- + ----.--------- + ----.-----
16 x+1 16 (x+1)^2 8 (x+1)^3 16 x-1 1 1
-3 1 1 1
+ ----.--------- + ---.--------- ) dx
16 (x-1)^2 8 (x-1)^3
-3 3 1 1 1 3
= ---- ㏑｜x+1｜ + ----.----- + ----.--------- + ---- ㏑｜x-1｜
16 16 x+1 16 (x+1)^2 16
3 1 -1 1
+ ----.----- + ----.--------- + K ...................(ii)
16 x-1 16 (x-1)^2
(ii)式就是答案了,当然你也可以再化简一下
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